不定積分 $\int \sqrt[3]{6x+7} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \sqrt[3]{6x+7} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を用いる。

$u = 6x + 7$ とおくと、$du = 6 dx$ より $dx = \frac{1}{6} du$ となる。

したがって、

$\int \sqrt[3]{6x+7} dx = \int \sqrt[3]{u} \cdot \frac{1}{6} du = \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{3}} du$

次に、$u^{\frac{1}{3}}$ の積分を計算する。

$\int u^{\frac{1}{3}} du = \frac{u^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} + C = \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

よって、

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{3}} du = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C = \frac{1}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

最後に、$u = 6x + 7$ を代入して、

$\frac{1}{8} (6x+7)^{\frac{4}{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8} (6x+7)^{\frac{4}{3}} + C$