与えられた積分問題を解きます。問題は2つあり、それぞれ (1) $\int \frac{3x^2 + 2x}{x^3 + 2x - 5} dx$ (2) $\int \frac{2x - 1}{x^2 + 5} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分問題を解きます。問題は2つあり、それぞれ

(1) $\int \frac{3x^2 + 2x}{x^3 + 2x - 5} dx$

(2) $\int \frac{2x - 1}{x^2 + 5} dx$

です。

2. 解き方の手順

問題文に、$\int \frac{p'(x)}{p(x)} dx = \log|p(x)| + C$ を使うように指示があります。これを利用して、積分を計算します。

(1) $\int \frac{3x^2 + 2x}{x^3 + 2x - 5} dx$

$p(x) = x^3 + 2x - 5$ とすると、$p'(x) = 3x^2 + 2$ です。

したがって、

$\int \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x - 5} dx = \log|x^3 + 2x - 5| + C$

(2) $\int \frac{2x - 1}{x^2 + 5} dx$

積分を2つに分けます。

$\int \frac{2x}{x^2 + 5} dx - \int \frac{1}{x^2 + 5} dx$

最初の積分では、$p(x) = x^2 + 5$ とすると、$p'(x) = 2x$ です。

したがって、$\int \frac{2x}{x^2 + 5} dx = \log|x^2 + 5| + C_1$

次の積分は、$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ を利用します。$a = \sqrt{5}$ なので、

$\int \frac{1}{x^2 + 5} dx = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{5}}) + C_2$

したがって、

$\int \frac{2x - 1}{x^2 + 5} dx = \log|x^2 + 5| - \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\log|x^3 + 2x - 5| + C$

(2) $\log(x^2 + 5) - \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$

(ここで、$x^2 + 5 > 0$ なので、絶対値を外しました。)