(1) 実数 $a$ を定数とする関数 $f(x) = \frac{\sqrt{ax-4}-9}{x-5}$ が $x \to 5$ のとき収束するように、$a$ の値を定め、$\lim_{x \to 5} f(x)$ を求めよ。 (2) $\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1} = 1$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を定めよ。

1. 問題の内容

(1) 実数 $a$ を定数とする関数 $f(x) = \frac{\sqrt{ax-4}-9}{x-5}$ が $x \to 5$ のとき収束するように、$a$ の値を定め、$\lim_{x \to 5} f(x)$ を求めよ。

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1} = 1$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x \to 5$ のとき、分母が $0$ に近づくので、分子も $0$ に近づく必要がある。したがって、

$\sqrt{5a-4}-9 = 0$

$\sqrt{5a-4} = 9$

$5a-4 = 81$

$5a = 85$

$a = 17$

このとき、

$f(x) = \frac{\sqrt{17x-4}-9}{x-5}$

$=\frac{(\sqrt{17x-4}-9)(\sqrt{17x-4}+9)}{(x-5)(\sqrt{17x-4}+9)}$

$=\frac{(17x-4)-81}{(x-5)(\sqrt{17x-4}+9)}$

$=\frac{17x-85}{(x-5)(\sqrt{17x-4}+9)}$

$=\frac{17(x-5)}{(x-5)(\sqrt{17x-4}+9)}$

$=\frac{17}{\sqrt{17x-4}+9}$

したがって、

$\lim_{x \to 5} f(x) = \lim_{x \to 5} \frac{17}{\sqrt{17x-4}+9} = \frac{17}{\sqrt{17\cdot5-4}+9} = \frac{17}{\sqrt{81}+9} = \frac{17}{9+9} = \frac{17}{18}$

(2)

$x \to 1$ のとき、分母が $0$ に近づくので、分子も $0$ に近づく必要がある。したがって、

$a\sqrt{1+1}-b = 0$

$a\sqrt{2} = b$

$b = a\sqrt{2}$

このとき、

$\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+1}-a\sqrt{2}}{x-1} = 1$

$\lim_{x \to 1} \frac{a(\sqrt{x+1}-\sqrt{2})}{x-1} = 1$

$\lim_{x \to 1} \frac{a(\sqrt{x+1}-\sqrt{2})(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})} = 1$

$\lim_{x \to 1} \frac{a(x+1-2)}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})} = 1$

$\lim_{x \to 1} \frac{a(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})} = 1$

$\lim_{x \to 1} \frac{a}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}} = 1$

$\frac{a}{\sqrt{1+1}+\sqrt{2}} = 1$

$\frac{a}{2\sqrt{2}} = 1$

$a = 2\sqrt{2}$

したがって、$b = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\sqrt{2} = 4$

3. 最終的な答え

(1) $a = 17$, $\lim_{x \to 5} f(x) = \frac{17}{18}$

(2) $a = 2\sqrt{2}$, $b = 4$