不定積分 $\int x^2 \sqrt{x} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

不定積分 $\int x^2 \sqrt{x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

すると、積分は $\int x^2 x^{\frac{1}{2}} \, dx$ となります。

次に、$x^2$ と $x^{\frac{1}{2}}$ を掛け合わせます。

$x^2 x^{\frac{1}{2}} = x^{2 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}}$

したがって、積分は $\int x^{\frac{5}{2}} \, dx$ となります。

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いて積分を行います。ここで、$n = \frac{5}{2}$ です。

$n+1 = \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2}$

よって、

$\int x^{\frac{5}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} + C = \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$