(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}$ の極小値を求める。 (2) 方程式 $ax^3 - x^2 - x + 1 = 0$ の実数解の個数が1個であるとき、定数 $a$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}$ の極小値を求める。

(2) 方程式 $ax^3 - x^2 - x + 1 = 0$ の実数解の個数が1個であるとき、定数 $a$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、関数 $f(x)$ を微分する。

$f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3} + \frac{3}{x^4} = \frac{-x^2 - 2x + 3}{x^4} = \frac{-(x+3)(x-1)}{x^4}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、$x = -3, 1$ である。

次に、$f'(x)$ の符号を調べる。

$x < -3$ のとき $f'(x) < 0$

$-3 < x < 0$ のとき $f'(x) > 0$

$0 < x < 1$ のとき $f'(x) > 0$

$x > 1$ のとき $f'(x) < 0$

したがって、$x=-3$ で極小値をとる。

$f(-3) = \frac{1}{-3} + \frac{1}{(-3)^2} - \frac{1}{(-3)^3} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} = \frac{-9 + 3 + 1}{27} = -\frac{5}{27}$

(2)

与えられた方程式は $ax^3 = x^2 + x - 1$ と変形できる。

$x = 0$ はこの方程式の解ではないので、$a = \frac{x^2 + x - 1}{x^3}$ となる。

$g(x) = \frac{x^2 + x - 1}{x^3}$ とおく。

$g'(x) = \frac{(2x+1)x^3 - (x^2+x-1)3x^2}{x^6} = \frac{2x^4 + x^3 - 3x^4 - 3x^3 + 3x^2}{x^6} = \frac{-x^4 - 2x^3 + 3x^2}{x^6} = \frac{-x^2 - 2x + 3}{x^4} = \frac{-(x+3)(x-1)}{x^4}$

$g'(x) = 0$ となる $x$ は、$x = -3, 1$ である。

$x < -3$ のとき $g'(x) < 0$

$-3 < x < 0$ のとき $g'(x) > 0$

$0 < x < 1$ のとき $g'(x) > 0$

$x > 1$ のとき $g'(x) < 0$

$x = -3$ で極小値 $g(-3) = \frac{(-3)^2 + (-3) - 1}{(-3)^3} = \frac{9 - 3 - 1}{-27} = \frac{5}{-27} = -\frac{5}{27}$

$x = 1$ で極大値 $g(1) = \frac{1^2 + 1 - 1}{1^3} = 1$

方程式 $ax^3 - x^2 - x + 1 = 0$ の実数解が1個であるためには、$a \ge 1$ または $a \le -\frac{5}{27}$ である必要がある。

ただし、$x=1$ が重解となる場合も考慮する必要がある。

$a=1$のとき、$x^3-x^2-x+1 = (x-1)(x^2-1) = (x-1)^2(x+1) = 0$。解は、$x=1, -1$ となるので、$a=1$は条件を満たさない。

従って、$a > 1$または $a < -\frac{5}{27}$

3. 最終的な答え

(1) 極小値: $-\frac{5}{27}$

(2) $a > 1$ または $a < -\frac{5}{27}$