$\int \sqrt[3]{6x+7} dx$ の不定積分を求めます。

1. 問題の内容

$\int \sqrt[3]{6x+7} dx$ の不定積分を求めます。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 6x + 7$ とおくと、$du = 6 dx$ となり、$dx = \frac{1}{6} du$ となります。

したがって、積分は

$\int \sqrt[3]{u} \frac{1}{6} du = \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{3}} du$

となります。

次に、$u^{\frac{1}{3}}$ の積分を計算します。

$\int u^{\frac{1}{3}} du = \frac{u^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

ここで、$u = 6x+7$ を代入すると、

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{3}} du = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} (6x+7)^{\frac{4}{3}} + C = \frac{1}{8} (6x+7)^{\frac{4}{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8}(6x+7)^{\frac{4}{3}} + C$