与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{16}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 25$ について、以下の問題を解く。 (1) $f'(x)$を求める。 (2) 方程式 $f'(x) = 0$ を解く。 (3) 関数 $f(x)$ の増減表を作成し、極値を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{16}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 25$ について、以下の問題を解く。

(1) $f'(x)$を求める。

(2) 方程式 $f'(x) = 0$ を解く。

(3) 関数 $f(x)$ の増減表を作成し、極値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$ を求める。

$f(x) = \frac{1}{16}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 25$ を微分すると、

$f'(x) = \frac{1}{16} \cdot 4x^3 - \frac{3}{2} \cdot 2x + 0$

$f'(x) = \frac{1}{4}x^3 - 3x$

(2) $f'(x) = 0$ を解く。

$\frac{1}{4}x^3 - 3x = 0$

$x(\frac{1}{4}x^2 - 3) = 0$

$x(\frac{1}{4}x^2 - 3) = 0$ より $x = 0$ または $\frac{1}{4}x^2 - 3 = 0$

$\frac{1}{4}x^2 = 3$

$x^2 = 12$

$x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$

よって、$x = 0, 2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}$

(3) 関数 $f(x)$ の増減表を作成し、極値を求める。

$f'(x) = \frac{1}{4}x(x^2 - 12) = \frac{1}{4}x(x-2\sqrt{3})(x+2\sqrt{3})$ であるから増減表は以下の通りになる。

| x | ... | $-2\sqrt{3}$ | ... | 0 | ... | $2\sqrt{3}$ | ... |

|-------------|-----------|--------------|-----------|--------|-----------|--------------|-----------|

| $f'(x)$ | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| $f(x)$ | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$ |

$x = -2\sqrt{3}$ のとき、$f(-2\sqrt{3}) = \frac{1}{16}(-2\sqrt{3})^4 - \frac{3}{2}(-2\sqrt{3})^2 + 25 = \frac{1}{16}(144) - \frac{3}{2}(12) + 25 = 9 - 18 + 25 = 16$

$x = 0$ のとき、$f(0) = \frac{1}{16}(0)^4 - \frac{3}{2}(0)^2 + 25 = 25$

$x = 2\sqrt{3}$ のとき、$f(2\sqrt{3}) = \frac{1}{16}(2\sqrt{3})^4 - \frac{3}{2}(2\sqrt{3})^2 + 25 = \frac{1}{16}(144) - \frac{3}{2}(12) + 25 = 9 - 18 + 25 = 16$

よって、

極大値: $f(0) = 25$

極小値: $f(-2\sqrt{3}) = 16$, $f(2\sqrt{3}) = 16$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{1}{4}x^3 - 3x$

(2) $x = 0, \pm 2\sqrt{3}$

(3) 極大値: $f(0) = 25$, 極小値: $f(\pm 2\sqrt{3}) = 16$