楕円 $9x^2 + 4y^2 = 1$ で囲まれる図形を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

楕円 $9x^2 + 4y^2 = 1$ で囲まれる図形を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた楕円の式を $x^2$ について解く。

$9x^2 = 1 - 4y^2$

$x^2 = \frac{1}{9}(1 - 4y^2)$

回転体の体積は、円板の積分で計算できる。$y$軸を中心に回転させるので、$y$について積分する。

$V = \pi \int_{-1/2}^{1/2} x^2 dy$

$x^2$ の式を代入する。

$V = \pi \int_{-1/2}^{1/2} \frac{1}{9}(1 - 4y^2) dy$

定数倍を前に出す。

$V = \frac{\pi}{9} \int_{-1/2}^{1/2} (1 - 4y^2) dy$

積分を実行する。

$V = \frac{\pi}{9} [y - \frac{4}{3}y^3]_{-1/2}^{1/2}$

積分範囲の値を代入する。

$V = \frac{\pi}{9} [(\frac{1}{2} - \frac{4}{3}(\frac{1}{2})^3) - (-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}(-\frac{1}{2})^3)]$

$V = \frac{\pi}{9} [(\frac{1}{2} - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8}) - (-\frac{1}{2} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8})]$

$V = \frac{\pi}{9} [(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}) - (-\frac{1}{2} + \frac{1}{6})]$

$V = \frac{\pi}{9} [\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}]$

$V = \frac{\pi}{9} [1 - \frac{2}{6}]$

$V = \frac{\pi}{9} [1 - \frac{1}{3}]$

$V = \frac{\pi}{9} [\frac{2}{3}]$

$V = \frac{2\pi}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{27}\pi$