以下の極限を求める問題です。 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} \right)$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} \right)$

2. 解き方の手順

この極限は定積分を用いて計算できます。

まず、与えられた和を$\Sigma$を用いて表します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$

この式を$n$で割って、区分求積法の形にします。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$

$n \to \infty$のとき、この和は以下の定積分に収束します。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx$

この定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx = \left[ \ln(1+x) \right]_{0}^{1} = \ln(1+1) - \ln(1+0) = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \ln(2)$

3. 最終的な答え

$\ln(2)$