与えられた定積分の値を求めます。積分は絶対値関数を含んでいます。具体的には、 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left| \cos x - \frac{1}{2} \right| dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求めます。積分は絶対値関数を含んでいます。具体的には、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left| \cos x - \frac{1}{2} \right| dx$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

絶対値の中身 $\cos x - \frac{1}{2}$ が正になる区間と負になる区間を考えます。

$\cos x = \frac{1}{2}$ となる $x$ の値を求めます。$x = \frac{\pi}{3}$ です。

$0 \le x \le \frac{\pi}{3}$ のとき、$\cos x \ge \frac{1}{2}$ なので、$\left| \cos x - \frac{1}{2} \right| = \cos x - \frac{1}{2}$ です。

$\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos x \le \frac{1}{2}$ なので、$\left| \cos x - \frac{1}{2} \right| = - \left( \cos x - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} - \cos x$ です。

したがって、積分は次のように分割できます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left| \cos x - \frac{1}{2} \right| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos x - \frac{1}{2} \right) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2} - \cos x \right) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos x - \frac{1}{2} \right) dx = \left[ \sin x - \frac{1}{2}x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \left( \sin \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} \right) - \left( \sin 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2} - \cos x \right) dx = \left[ \frac{1}{2} x - \sin x \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{3} \right) = \left( \frac{\pi}{4} - 1 \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{4} - 1 - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{12} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left| \cos x - \frac{1}{2} \right| dx = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{12} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - \frac{\pi}{12} - 1$