$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。 $$\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。

$$\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

2. 解き方の手順

まず、$2\theta + \frac{\pi}{3}$ を $x$ と置きます。

$$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$0 \leq \theta < 2\pi$ より、

$0 \leq 2\theta < 4\pi$ となり、

$\frac{\pi}{3} \leq 2\theta + \frac{\pi}{3} < 4\pi + \frac{\pi}{3}$

つまり、$\frac{\pi}{3} \leq x < \frac{13\pi}{3}$ となります。

$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ の値は、

$x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}$ です。

$x = 2\theta + \frac{\pi}{3}$ より、

$2\theta = x - \frac{\pi}{3}$

$\theta = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

したがって、

$\theta = \frac{1}{2}\left(\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{2}$

$\theta = \frac{1}{2}\left(\frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$

$\theta = \frac{1}{2}\left(\frac{10\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{9\pi}{3}\right) = \frac{3\pi}{2}$

$\theta = \frac{1}{2}\left(\frac{11\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{10\pi}{3}\right) = \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}$