与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to -\infty} x(2-x)e^{-x} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{x \to -\infty} x(2-x)e^{-x}

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2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を次のように書き換えます。

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\lim_{x \to -\infty} x(2-x)e^{-x} = \lim_{x \to -\infty} (2x - x^2)e^{-x}

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$x \to -\infty$ のとき、$x = -t$ と置換すると、$t \to \infty$ となります。したがって、

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\lim_{x \to -\infty} (2x - x^2)e^{-x} = \lim_{t \to \infty} (2(-t) - (-t)^2)e^{-(-t)} = \lim_{t \to \infty} (-2t - t^2)e^t = \lim_{t \to \infty} -(t^2 + 2t)e^t

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$t \to \infty$ のとき、$t^2+2t \to \infty$ かつ $e^t \to \infty$ です。したがって、$t \to \infty$ のとき、 $(t^2 + 2t)e^t \to \infty$ となります。したがって、

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\lim_{t \to \infty} -(t^2 + 2t)e^t = -\infty

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したがって、

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\lim_{x \to -\infty} x(2-x)e^{-x} = -\infty

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3. 最終的な答え

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-\infty

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