曲線 $y = |x(x-4)|$ と直線 $y = 2x$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = |x(x-4)|$ と直線 $y = 2x$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = |x(x-4)|$ のグラフと $y = 2x$ のグラフを描いて、囲まれた領域を特定します。

$x(x-4)$ は $x=0$ と $x=4$ で $x$ 軸と交わります。$|x(x-4)|$ は $x(x-4) < 0$ の範囲、つまり $0 < x < 4$ で $x$ 軸に関して折り返されます。

次に、交点を求めます。

$|x(x-4)| = 2x$ を解きます。

場合1：$x(x-4) \geq 0$ のとき、$x(x-4) = 2x$

$x^2 - 4x = 2x$

$x^2 - 6x = 0$

$x(x-6) = 0$

$x=0, 6$

場合2：$x(x-4) < 0$ のとき、$-x(x-4) = 2x$

$-x^2 + 4x = 2x$

$-x^2 + 2x = 0$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x-2) = 0$

$x=0, 2$

$0 < x < 4$ の範囲で $x(x-4) < 0$ なので、$x=2$ は解として適切です。

$x=6$ は $x(x-4) \geq 0$ の条件を満たし、$x=0$ は既にわかっています。

したがって、交点は $x=0, 2, 6$ に対応します。

$x=0$ のとき $y=0$

$x=2$ のとき $y=4$

$x=6$ のとき $y=12$

求める面積は、積分を用いて計算します。区間 $[0,2]$ と $[2,6]$ で積分を分けて計算します。

区間 $[0,2]$ では、$|x(x-4)| = -x(x-4) = -x^2+4x$ であり、$y = 2x$ よりも上にあります。したがって、面積は

$\int_{0}^{2} (-x^2 + 4x - 2x) dx = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + x^2]_0^2 = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3}$

区間 $[2,4]$では、$2x$は $|x(x-4)|$よりも上にあります. この範囲では $|x(x-4)| = -x(x-4) = -x^2 + 4x$. よって

$\int_{2}^{4} (2x - (-x^2 + 4x)) dx = \int_{2}^{4} (x^2 - 2x) dx = [\frac{1}{3}x^3 - x^2]_2^4 = (\frac{64}{3} - 16) - (\frac{8}{3} - 4) = \frac{56}{3} - 12 = \frac{20}{3}$

区間 $[4,6]$では、$2x$は $|x(x-4)|$よりも上にあります. この範囲では $|x(x-4)| = x(x-4) = x^2 - 4x$. よって

$\int_{4}^{6} (2x - (x^2 - 4x)) dx = \int_{4}^{6} (-x^2 + 6x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2]_4^6 = (-\frac{216}{3} + 108) - (-\frac{64}{3} + 48) = -72 + 108 + \frac{64}{3} - 48 = 36 - 48 + \frac{64}{3} = -12 + \frac{64}{3} = \frac{28}{3}$

したがって、求める面積は

$\frac{4}{3} + \frac{20}{3} + \frac{28}{3} = \frac{52}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{52}{3}$