関数 $f(\theta) = \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta - \cos^2 \theta$ について、 (1) $f(0)$ と $f(\frac{\pi}{3})$ を計算する。 (2) $\cos^2 \theta$ を2倍角の公式を用いて変形し、$f(\theta)$ を $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ で表す。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta - \cos^2 \theta$ について、

(1) $f(0)$ と $f(\frac{\pi}{3})$ を計算する。

(2) $\cos^2 \theta$ を2倍角の公式を用いて変形し、$f(\theta)$ を $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) $f(0)$ の計算：

$f(0) = \sin^2 0 + 4 \sin 0 \cos 0 - \cos^2 0 = 0^2 + 4(0)(1) - 1^2 = -1$

よって、$f(0) = -1$

$f(\frac{\pi}{3})$ の計算：

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ より

$f(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 4(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + \sqrt{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \sqrt{3}$

よって、$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \sqrt{3}$

(2) $\cos^2 \theta$ の変形：

2倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ を用いると、$\cos^2 \theta = \frac{\cos 2\theta + 1}{2}$

$f(\theta)$ の変形：

$f(\theta) = \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta - \cos^2 \theta = (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) + 4 \sin \theta \cos \theta$

三角関数の2倍角の公式より、$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$, $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = -(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)$

$f(\theta) = -\cos 2\theta + 2(2 \sin \theta \cos \theta) = -\cos 2\theta + 2 \sin 2\theta = 2 \sin 2\theta - \cos 2\theta + 0$

よって、$f(\theta) = 2 \sin 2\theta - \cos 2\theta + 0$

3. 最終的な答え

(1) $f(0) = -1$, $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \sqrt{3}$

(2) $\cos^2 \theta = \frac{\cos 2\theta + 1}{2}$

$f(\theta) = 2 \sin 2\theta - \cos 2\theta + 0$