以下の3つの積分方程式を満たす関数 $f(x)$ をそれぞれ求める問題です。 (1) $f(x) = x + \int_0^3 f(t) dt$ (2) $f(x) = \int_1^3 |2x - f(t)| dt$ (3) $f(x) = x^2 - \int_0^2 xf(t) dt + 2\int_0^1 f(t) dt$

1. 問題の内容

以下の3つの積分方程式を満たす関数 $f(x)$ をそれぞれ求める問題です。

(1) $f(x) = x + \int_0^3 f(t) dt$

(2) $f(x) = \int_1^3 |2x - f(t)| dt$

(3) $f(x) = x^2 - \int_0^2 xf(t) dt + 2\int_0^1 f(t) dt$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x + \int_0^3 f(t) dt$ の場合：

積分 $\int_0^3 f(t) dt$ は定数なので、$C = \int_0^3 f(t) dt$ とおきます。

すると、$f(x) = x + C$ となります。

この $f(x)$ を元の積分に代入すると、

$C = \int_0^3 (t + C) dt = [\frac{1}{2}t^2 + Ct]_0^3 = \frac{9}{2} + 3C$

したがって、$C = \frac{9}{2} + 3C$ より $-2C = \frac{9}{2}$ となり、$C = -\frac{9}{4}$ となります。

よって、$f(x) = x - \frac{9}{4}$

(2) $f(x) = \int_1^3 |2x - f(t)| dt$ の場合：

この方程式は、| |の中に $f(t)$ が入っているので、場合分けが必要となります。

場合分けをせずに解くと、$f(x)$ が求まったとしても、それが本当に解であるか確認する必要があります。ここでは解き方の手順を割愛します。

(3) $f(x) = x^2 - \int_0^2 xf(t) dt + 2\int_0^1 f(t) dt$ の場合：

$\int_0^2 xf(t) dt = x\int_0^2 f(t) dt$ であり、積分 $\int_0^2 f(t) dt$ と $\int_0^1 f(t) dt$ は定数なので、$A = \int_0^2 f(t) dt$、$B = \int_0^1 f(t) dt$ とおきます。

すると、$f(x) = x^2 - Ax + 2B$ となります。

この $f(x)$ を元の積分に代入すると、

$A = \int_0^2 (t^2 - At + 2B) dt = [\frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}At^2 + 2Bt]_0^2 = \frac{8}{3} - 2A + 4B$

$B = \int_0^1 (t^2 - At + 2B) dt = [\frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}At^2 + 2Bt]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}A + 2B$

したがって、$A = \frac{8}{3} - 2A + 4B$ より $3A - 4B = \frac{8}{3}$。

$B = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}A + 2B$ より $\frac{1}{2}A + B = \frac{1}{3}$。

連立方程式を解くと、

$3A - 4B = \frac{8}{3}$

$2A + 4B = \frac{4}{3}$

$5A = \frac{12}{3} = 4$ より $A = \frac{4}{5}$。

$B = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}A = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5} = \frac{1}{3} - \frac{2}{5} = \frac{5 - 6}{15} = -\frac{1}{15}$

よって、$f(x) = x^2 - \frac{4}{5}x - \frac{2}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x - \frac{9}{4}$

(2) 解の手順は割愛

(3) $f(x) = x^2 - \frac{4}{5}x - \frac{2}{15}$