以下の2つの定積分を求めます。ただし、$a > 0$ とします。 (1) $\int_{a}^{a+1} |x-2| dx$ (2) $\int_{0}^{2} |x^2 - a^2| dx$

1. 問題の内容

以下の2つの定積分を求めます。ただし、$a > 0$ とします。

(1) $\int_{a}^{a+1} |x-2| dx$

(2) $\int_{0}^{2} |x^2 - a^2| dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{a}^{a+1} |x-2| dx$ の場合

$|x-2|$ の積分区間 $a \le x \le a+1$ における符号で場合分けします。

(i) $a+1 \le 2$、つまり $a \le 1$ のとき、$x-2 \le 0$ なので、 $|x-2| = -(x-2) = 2-x$

$\int_{a}^{a+1} (2-x) dx = [2x - \frac{1}{2}x^2]_{a}^{a+1} = (2(a+1) - \frac{1}{2}(a+1)^2) - (2a - \frac{1}{2}a^2) = 2a + 2 - \frac{1}{2}(a^2 + 2a + 1) - 2a + \frac{1}{2}a^2 = 2 - \frac{1}{2} - a + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - a$

(ii) $a \ge 2$ のとき、$x-2 \ge 0$ なので、 $|x-2| = x-2$

$\int_{a}^{a+1} (x-2) dx = [\frac{1}{2}x^2 - 2x]_{a}^{a+1} = (\frac{1}{2}(a+1)^2 - 2(a+1)) - (\frac{1}{2}a^2 - 2a) = \frac{1}{2}(a^2 + 2a + 1) - 2a - 2 - \frac{1}{2}a^2 + 2a = \frac{1}{2}a^2 + a + \frac{1}{2} - 2a - 2 - \frac{1}{2}a^2 + 2a = a - \frac{3}{2}$

(iii) $a < 2 < a+1$、つまり $1 < a < 2$ のとき、$a \le x \le 2$ では $|x-2| = 2-x$、$2 \le x \le a+1$ では $|x-2| = x-2$ となるので、積分を分割します。

$\int_{a}^{a+1} |x-2| dx = \int_{a}^{2} (2-x) dx + \int_{2}^{a+1} (x-2) dx$

$\int_{a}^{2} (2-x) dx = [2x - \frac{1}{2}x^2]_{a}^{2} = (4 - 2) - (2a - \frac{1}{2}a^2) = 2 - 2a + \frac{1}{2}a^2$

$\int_{2}^{a+1} (x-2) dx = [\frac{1}{2}x^2 - 2x]_{2}^{a+1} = (\frac{1}{2}(a+1)^2 - 2(a+1)) - (2 - 4) = \frac{1}{2}(a^2 + 2a + 1) - 2a - 2 + 2 = \frac{1}{2}a^2 + a + \frac{1}{2} - 2a = \frac{1}{2}a^2 - a + \frac{1}{2}$

よって、$\int_{a}^{a+1} |x-2| dx = (2 - 2a + \frac{1}{2}a^2) + (\frac{1}{2}a^2 - a + \frac{1}{2}) = a^2 - 3a + \frac{5}{2}$

(2) $\int_{0}^{2} |x^2 - a^2| dx$ の場合

$|x^2 - a^2|$ の積分区間 $0 \le x \le 2$ における符号で場合分けします。

$x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)$ より、$x=a$ で符号が変わります。

(i) $a \ge 2$ のとき、$0 \le x \le 2$ で $x^2 - a^2 \le 0$ なので、 $|x^2 - a^2| = -(x^2 - a^2) = a^2 - x^2$

$\int_{0}^{2} (a^2 - x^2) dx = [a^2x - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{2} = 2a^2 - \frac{8}{3}$

(ii) $0 < a \le 2$ のとき、$0 \le x \le a$ で $x^2 - a^2 \le 0$ なので、 $|x^2 - a^2| = a^2 - x^2$、$a \le x \le 2$ で $x^2 - a^2 \ge 0$ なので、 $|x^2 - a^2| = x^2 - a^2$ となるので、積分を分割します。

$\int_{0}^{2} |x^2 - a^2| dx = \int_{0}^{a} (a^2 - x^2) dx + \int_{a}^{2} (x^2 - a^2) dx$

$\int_{0}^{a} (a^2 - x^2) dx = [a^2x - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{a} = a^3 - \frac{1}{3}a^3 = \frac{2}{3}a^3$

$\int_{a}^{2} (x^2 - a^2) dx = [\frac{1}{3}x^3 - a^2x]_{a}^{2} = (\frac{8}{3} - 2a^2) - (\frac{1}{3}a^3 - a^3) = \frac{8}{3} - 2a^2 + \frac{2}{3}a^3$

よって、$\int_{0}^{2} |x^2 - a^2| dx = (\frac{2}{3}a^3) + (\frac{8}{3} - 2a^2 + \frac{2}{3}a^3) = \frac{4}{3}a^3 - 2a^2 + \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{a}^{a+1} |x-2| dx = \begin{cases} \frac{3}{2} - a & (a \le 1) \\ a^2 - 3a + \frac{5}{2} & (1 < a < 2) \\ a - \frac{3}{2} & (a \ge 2) \end{cases}$

(2) $\int_{0}^{2} |x^2 - a^2| dx = \begin{cases} 2a^2 - \frac{8}{3} & (a \ge 2) \\ \frac{4}{3}a^3 - 2a^2 + \frac{8}{3} & (0 < a \le 2) \end{cases}$