$\frac{1}{\cos x} + \tan x = \sqrt{3}$ を $0 \le x < 2\pi$ の範囲で解く問題です。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\cos x} + \tan x = \sqrt{3}$ を $0 \le x < 2\pi$ の範囲で解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用して式を変形します。

$\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3}$

$\frac{1 + \sin x}{\cos x} = \sqrt{3}$

$1 + \sin x = \sqrt{3} \cos x$

両辺を2乗して、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を利用して変形します。

$(1 + \sin x)^2 = (\sqrt{3} \cos x)^2$

$1 + 2\sin x + \sin^2 x = 3\cos^2 x$

$1 + 2\sin x + \sin^2 x = 3(1 - \sin^2 x)$

$1 + 2\sin x + \sin^2 x = 3 - 3\sin^2 x$

$4\sin^2 x + 2\sin x - 2 = 0$

$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

$(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$

したがって、$\sin x = \frac{1}{2}$ または $\sin x = -1$ となります。

$\sin x = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\sin x = -1$ のとき、$x = \frac{3\pi}{2}$

ここで、$1 + \sin x = \sqrt{3} \cos x$ に代入して検算します。

$x = \frac{\pi}{6}$ のとき、$1 + \sin \frac{\pi}{6} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$、$\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$

$x = \frac{5\pi}{6}$ のとき、$1 + \sin \frac{5\pi}{6} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$、$\sqrt{3} \cos \frac{5\pi}{6} = \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2}$

$x = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$1 + \sin \frac{3\pi}{2} = 1 + (-1) = 0$、$\sqrt{3} \cos \frac{3\pi}{2} = \sqrt{3} \cdot 0 = 0$

したがって、$x = \frac{\pi}{6}$ と $x = \frac{3\pi}{2}$ は解ですが、$x = \frac{5\pi}{6}$ は解ではありません。

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$