$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin(2\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin(2\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$2\theta + \frac{\pi}{3} = x$ とおくと、$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる。

$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ の値は、単位円上で考えると、第3象限と第4象限にある。

$x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ または $x = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi$ (nは整数)となる。

$x = 2\theta + \frac{\pi}{3}$ を代入すると、

$2\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ または $2\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi$

となる。

$2\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ のとき、

$2\theta = \frac{3\pi}{3} + 2n\pi = \pi + 2n\pi$

$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、

$n = 0$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$

$n = 1$ のとき $\theta = \frac{3\pi}{2}$

$2\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi$ のとき、

$2\theta = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$

$\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、

$n = 0$ のとき $\theta = \frac{2\pi}{3}$

$n = 1$ のとき $\theta = \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}$