次の方程式を満たす $x$ の値を $0 \le x < 2\pi$ の範囲で求めます。 $\frac{1}{\cos x} + \tan x = \sqrt{3}$

1. 問題の内容

次の方程式を満たす $x$ の値を $0 \le x < 2\pi$ の範囲で求めます。

$\frac{1}{\cos x} + \tan x = \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

与えられた方程式は

$\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3}$

$\frac{1 + \sin x}{\cos x} = \sqrt{3}$

$1 + \sin x = \sqrt{3} \cos x$

$\sin x - \sqrt{3} \cos x = -1$

両辺を2で割ります。

$\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = -\frac{1}{2}$

$\sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

$\sin (x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$x - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$ or $x - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$, where $n$ is an integer.

したがって、$x = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ or $x = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2n\pi$

$x = \frac{9\pi}{6} + 2n\pi = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ or $x = \frac{13\pi}{6} + 2n\pi$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で解を求めます。

$x = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$n=0$

$x = \frac{13\pi}{6}$ のとき、$n=0$

ここで、$x = \frac{3\pi}{2}$ を与えられた方程式に代入すると、$\cos x = 0$ となるため、$\frac{1}{\cos x}$ が定義されません。したがって、$x = \frac{3\pi}{2}$ は解ではありません。

次に、$x = \frac{13\pi}{6}$ を与えられた方程式に代入すると、$\cos \frac{13\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\tan \frac{13\pi}{6} = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となります。

$\frac{1}{\cos x} + \tan x = \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ となり、与えられた方程式を満たします。

3. 最終的な答え

$x = \frac{13\pi}{6}$