$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $f(x) = \cos^2 x + 4\sqrt{3} \sin x \cos x - 3\sin^2 x$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $f(x) = \cos^2 x + 4\sqrt{3} \sin x \cos x - 3\sin^2 x$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を三角関数の2倍角の公式を用いて変形する。

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$

これらを用いると、

$f(x) = \cos^2 x - \sin^2 x + 4\sin^2 x + 4\sqrt{3} \sin x \cos x - 4\sin^2 x$

$f(x) = \cos 2x + 2\sqrt{3} \sin 2x - 4\sin^2 x + \sin^2x + \cos^2x$

$f(x) = \cos^2 x - \sin^2 x + 2\sqrt{3}(2 \sin x \cos x)-2\sin^2x$

$f(x) = \cos 2x + 2\sqrt{3}\sin 2x -2 \sin^2 x$

半角の公式より，$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$であるから

$f(x) = \cos 2x + 2\sqrt{3}\sin 2x -2 (\frac{1-\cos 2x}{2})$

$f(x) = \cos 2x + 2\sqrt{3}\sin 2x -1+\cos 2x$

$f(x) = 2\cos 2x + 2\sqrt{3}\sin 2x - 1$

次に、三角関数の合成を行う。

$f(x) = 4(\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x) - 1$

$f(x) = 4\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - 1$

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ より、$\frac{\pi}{6} \leqq 2x + \frac{\pi}{6} \leqq \frac{7\pi}{6}$ である。

したがって、$-1 \leqq \sin(2x + \frac{\pi}{6}) \leqq 1$ であるから、

$\sin(2x+\frac{\pi}{6})=1$のとき、最大値は $4\times 1 - 1 = 3$。このとき、$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ より $2x = \frac{\pi}{3}$、$x = \frac{\pi}{6}$。

$\sin(2x+\frac{\pi}{6})=-1$のとき、最小値は $4\times (- \frac{1}{2}) - 1=4 \times (- \frac{1}{2}) -1= -3$。このとき、$\sin(2x+\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}$.　つまり，$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$より $2x = \pi$、$x = \frac{\pi}{2}$。

$\sin(2x+\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}$.　つまり，$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$より $2x = \pi$、$x = \frac{\pi}{2}$。

よって最小値は $4(-\frac{1}{2}) - 1 = -3$

3. 最終的な答え

最大値: 3 ($x = \frac{\pi}{6}$ のとき)

最小値: -3 ($x = \frac{\pi}{2}$ のとき)