定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx$ を計算し、答えを「ア - イ/ウ π」の形式で答える。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx$ を計算し、答えを「ア - イ/ウ π」の形式で答える。

2. 解き方の手順

$\tan^2 x$ を積分するために、恒等式 $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ または $\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ を利用する。$\frac{1}{\cos^2 x}$ の積分は $\tan x$ である。よって、

$$\int \tan^2 x \, dx = \int \left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1 \right) dx = \tan x - x + C$$

したがって、定積分は

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx = \left[ \tan x - x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left(\tan \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) - (\tan 0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{4} - 0 = 1 - \frac{\pi}{4}$$

したがって、答えは $1 - \frac{1}{4}\pi$ となる。

3. 最終的な答え

ア = 1

イ = 1

ウ = 4