$0 < t < 1$ のとき、$S(t) = \int_{0}^{\pi} |\sin x - tx| dx$ とする。 (1) 方程式 $\sin x - tx = 0$ の解を $\alpha$ として、$S(t)$ を $\alpha$ で表せ。 (2) $S(t)$ を最小にする $\alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < t < 1$ のとき、$S(t) = \int_{0}^{\pi} |\sin x - tx| dx$ とする。

(1) 方程式 $\sin x - tx = 0$ の解を $\alpha$ として、$S(t)$ を $\alpha$ で表せ。

(2) $S(t)$ を最小にする $\alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $S(t)$ を $\alpha$ で表す。

$\sin x - tx = 0$ の解が $\alpha$ なので、$\sin \alpha - t\alpha = 0$ より $t = \frac{\sin \alpha}{\alpha}$ である。

$0 \le x \le \alpha$ のとき、$\sin x \ge tx$

$\alpha \le x \le \pi$ のとき、$\sin x \le tx$ (∵ $t < 1$)

したがって、

$$S(t) = \int_{0}^{\pi} |\sin x - tx| dx = \int_{0}^{\alpha} (\sin x - tx) dx + \int_{\alpha}^{\pi} (tx - \sin x) dx$$

$$= \left[-\cos x - \frac{1}{2}tx^2\right]_{0}^{\alpha} + \left[\frac{1}{2}tx^2 + \cos x\right]_{\alpha}^{\pi}$$

$$= (-\cos \alpha - \frac{1}{2}t\alpha^2) - (-\cos 0 - 0) + (\frac{1}{2}t\pi^2 + \cos \pi) - (\frac{1}{2}t\alpha^2 + \cos \alpha)$$

$$= -\cos \alpha - \frac{1}{2}t\alpha^2 + 1 + \frac{1}{2}t\pi^2 - 1 - \frac{1}{2}t\alpha^2 - \cos \alpha$$

$$= -2\cos \alpha - t\alpha^2 + \frac{1}{2}t\pi^2$$

ここで、$t = \frac{\sin \alpha}{\alpha}$ を代入すると、

$$S(t) = -2\cos \alpha - \frac{\sin \alpha}{\alpha} \alpha^2 + \frac{1}{2} \frac{\sin \alpha}{\alpha} \pi^2$$

$$= -2\cos \alpha - \alpha \sin \alpha + \frac{\pi^2}{2\alpha} \sin \alpha$$

(2) $S(t)$ を最小にする $\alpha$ の値を求める。

$S(t)$ は $\alpha$ の関数であるので、$S'(t) = 0$ となる $\alpha$ を求める。

$$\frac{dS}{d\alpha} = 2\sin \alpha - \sin \alpha - \alpha \cos \alpha + \frac{\pi^2}{2} \left(\frac{\cos \alpha}{\alpha} - \frac{\sin \alpha}{\alpha^2} \right) = 0$$

$$\sin \alpha - \alpha \cos \alpha + \frac{\pi^2}{2} \left(\frac{\alpha \cos \alpha - \sin \alpha}{\alpha^2} \right) = 0$$

$$\sin \alpha - \alpha \cos \alpha + \frac{\pi^2}{2\alpha^2} (\alpha \cos \alpha - \sin \alpha) = 0$$

$$\sin \alpha - \alpha \cos \alpha - \frac{\pi^2}{2\alpha^2} (\sin \alpha - \alpha \cos \alpha) = 0$$

$$(\sin \alpha - \alpha \cos \alpha) \left(1 - \frac{\pi^2}{2\alpha^2} \right) = 0$$

したがって、$\sin \alpha = \alpha \cos \alpha$ または $1 = \frac{\pi^2}{2\alpha^2}$

$\sin \alpha = \alpha \cos \alpha$ は $\tan \alpha = \alpha$ と同値であるが、$0 < \alpha < \pi$ において、$\sin x - tx = 0$ の解 $\alpha$ を考えると、$\alpha = 0$ は除くので、$\alpha = 0$ となることはない。

$1 = \frac{\pi^2}{2\alpha^2}$ より $\alpha^2 = \frac{\pi^2}{2}$ なので $\alpha = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$ ($0 < \alpha < \pi$)

ここで、$t = \frac{\sin \alpha}{\alpha} = \frac{\sin (\pi/\sqrt{2})}{\pi/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \sin(\pi/\sqrt{2})$

3. 最終的な答え

(1) $S(t) = -2\cos \alpha - \alpha \sin \alpha + \frac{\pi^2}{2\alpha} \sin \alpha$

(2) $\alpha = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$