次の極限値を求めます。ただし、$a, b$ は正の定数です。 $$\lim_{n \to \infty} \log \left( 1 + \frac{a+b}{n} + \frac{ab}{n^2} \right)^n$$

## 問題1

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。ただし、$a, b$ は正の定数です。

$$\lim_{n \to \infty} \log \left( 1 + \frac{a+b}{n} + \frac{ab}{n^2} \right)^n$$

2. 解き方の手順

まず、$\log$ の中身を整理します。

$$\left( 1 + \frac{a+b}{n} + \frac{ab}{n^2} \right)^n = \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n \left( 1 + \frac{b}{n} \right)^n$$

したがって、与えられた極限は

$$\lim_{n \to \infty} \log \left[ \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n \left( 1 + \frac{b}{n} \right)^n \right]$$

$\log$ の性質より

$$\lim_{n \to \infty} \left[ \log \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n + \log \left( 1 + \frac{b}{n} \right)^n \right]$$

$$\lim_{n \to \infty} \left[ n \log \left( 1 + \frac{a}{n} \right) + n \log \left( 1 + \frac{b}{n} \right) \right]$$

ここで、$x \to 0$ のとき $\log(1+x) \approx x$ を用いると、

$$\lim_{n \to \infty} \left[ n \cdot \frac{a}{n} + n \cdot \frac{b}{n} \right] = \lim_{n \to \infty} [a + b] = a + b$$

3. 最終的な答え

$a+b$

## 問題2

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。ただし、$0 < a < 1$ とします。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n} + a^{3n})$$

2. 解き方の手順

$0 < a < 1$ より、$n \to \infty$ のとき $a^{2n} \to 0$ かつ $a^{3n} \to 0$ です。$a^{2n}$ と $a^{3n}$ を比較すると、$a^{3n}$ の方が $0$ に収束する速度が速いです。したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n} + a^{3n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log \left[ a^{2n} \left( 1 + \frac{a^{3n}}{a^{2n}} \right) \right] = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log \left[ a^{2n} \left( 1 + a^n \right) \right]$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left[ \log a^{2n} + \log(1 + a^n) \right] = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left[ 2n \log a + \log(1 + a^n) \right]$$

$n \to \infty$ のとき、$a^n \to 0$ より $\log(1 + a^n) \to \log 1 = 0$ です。

$$= \lim_{n \to \infty} \left[ 2 \log a + \frac{\log(1 + a^n)}{n} \right] = 2 \log a + 0 = 2 \log a$$

3. 最終的な答え

$2 \log a$