数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および $a_{n+1} = \sqrt{2a_n + 3}$ で定義されているとき、以下の問いに答えます。 (1) 数列 $\{a_n\}$ が極限値 $\alpha$ を持つとき、$\alpha$ の値を求めます。 (2) (1) の $\alpha$ について、 $|a_{n+1} - \alpha| \le \frac{2}{3} |a_n - \alpha|$ を示します。 (3) $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ であることを示します。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および $a_{n+1} = \sqrt{2a_n + 3}$ で定義されているとき、以下の問いに答えます。

(1) 数列 $\{a_n\}$ が極限値 $\alpha$ を持つとき、$\alpha$ の値を求めます。

(2) (1) の $\alpha$ について、 $|a_{n+1} - \alpha| \le \frac{2}{3} |a_n - \alpha|$ を示します。

(3) $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ であることを示します。

2. 解き方の手順

(1)

数列 $\{a_n\}$ が極限値 $\alpha$ を持つと仮定します。このとき、$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ および $\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \alpha$ が成り立ちます。漸化式 $a_{n+1} = \sqrt{2a_n + 3}$ の両辺の極限を取ると、

$$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2a_n + 3}$$

$$\alpha = \sqrt{2\alpha + 3}$$

両辺を2乗すると、

$$\alpha^2 = 2\alpha + 3$$

$$\alpha^2 - 2\alpha - 3 = 0$$

$$(\alpha - 3)(\alpha + 1) = 0$$

よって、$\alpha = 3$ または $\alpha = -1$ です。

数列の定義より $a_n > 0$ であるため、$\alpha = 3$ が適切です。

(2)

$|a_{n+1} - \alpha|$ を計算します。$\alpha = 3$ なので、

$$|a_{n+1} - 3| = |\sqrt{2a_n + 3} - 3| = \left| \frac{(\sqrt{2a_n + 3} - 3)(\sqrt{2a_n + 3} + 3)}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} \right|$$

$$= \left| \frac{(2a_n + 3) - 9}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} \right| = \left| \frac{2a_n - 6}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} \right| = \left| \frac{2(a_n - 3)}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} \right| = \frac{2|a_n - 3|}{\sqrt{2a_n + 3} + 3}$$

ここで、$a_1 = 1$ であり、$a_n$ は単調増加で $3$ に収束すると考えられます。したがって、$a_n \ge 1$ です。

$$\sqrt{2a_n + 3} + 3 \ge \sqrt{2(1) + 3} + 3 = \sqrt{5} + 3 > 3 + 2 = 5$$

したがって、

$$|a_{n+1} - 3| = \frac{2|a_n - 3|}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} \le \frac{2|a_n - 3|}{3 + \sqrt{5}} < \frac{2|a_n - 3|}{3 + 2} = \frac{2}{5}|a_n - 3| < \frac{2}{3} |a_n-3|$$

実際には $\frac{2}{\sqrt{2a_n + 3} + 3}$ の最大値は $a_n=1$のときであり、$\frac{2}{\sqrt{5}+3}=0.425...$ であり、$\frac{2}{3}=0.666...$　より常に $|a_{n+1} - 3| \le \frac{2}{3} |a_n - 3|$ が成り立ちます。

(3)

(2) の結果より、

$$|a_{n+1} - 3| \le \frac{2}{3} |a_n - 3|$$

を繰り返すと、

$$|a_n - 3| \le \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} |a_1 - 3|$$

ここで、$a_1 = 1$ なので、

$$|a_n - 3| \le \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} |1 - 3| = 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$$

$n \to \infty$ のとき、$\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \to 0$ なので、

$$\lim_{n \to \infty} |a_n - 3| = 0$$

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = 3$$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 3$

(2) $|a_{n+1} - \alpha| \le \frac{2}{3} |a_n - \alpha|$

(3) $\lim_{n \to \infty} a_n = 3$