実数 $p$ に対して、$f(x) = x^3 - 3x^2 + p$ という関数が与えられています。 (1) $f(x)$ の増減を調べ、$f(x)$ の極値を求めます。 (2) 方程式 $f(x) = 0$ が異なる3個の実数解をもつとき、$p$ の取り得る値の範囲を求めます。 (3) $f(1) = 0$ のとき、$p$ が(2)で求めた範囲にあることを示します。 (4) (3) のとき、方程式 $f(x) = 0$ の $1$ 以外の実数解を $\alpha, \beta (\alpha < 1 < \beta)$ とするとき、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。 (5) (4) のとき、$\alpha \le x \le 1$ において $x$ 軸と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた部分の面積を $S_1$ とし、$1 \le x \le \beta$ において $x$ 軸と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた部分の面積を $S_2$ とするとき、$S_1 = S_2$ となることを示します。

1. 問題の内容

実数 $p$ に対して、$f(x) = x^3 - 3x^2 + p$ という関数が与えられています。

(1) $f(x)$ の増減を調べ、$f(x)$ の極値を求めます。

(2) 方程式 $f(x) = 0$ が異なる3個の実数解をもつとき、$p$ の取り得る値の範囲を求めます。

(3) $f(1) = 0$ のとき、$p$ が(2)で求めた範囲にあることを示します。

(4) (3) のとき、方程式 $f(x) = 0$ の $1$ 以外の実数解を $\alpha, \beta (\alpha < 1 < \beta)$ とするとき、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

(5) (4) のとき、$\alpha \le x \le 1$ において $x$ 軸と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた部分の面積を $S_1$ とし、$1 \le x \le \beta$ において $x$ 軸と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた部分の面積を $S_2$ とするとき、$S_1 = S_2$ となることを示します。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の増減と極値の計算:

$f'(x)$ を計算し、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求め、増減表を作成します。

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ のときです。

$x < 0$ のとき $f'(x) > 0$

$0 < x < 2$ のとき $f'(x) < 0$

$x > 2$ のとき $f'(x) > 0$

したがって、$x = 0$ で極大値 $f(0) = p$, $x = 2$ で極小値 $f(2) = 8 - 12 + p = p - 4$ をとります。

(2) $f(x) = 0$ が異なる3個の実数解を持つ条件:

$f(x)$ が異なる3個の実数解を持つためには、極大値と極小値の積が負であることが必要です。

つまり、$f(0)f(2) < 0$ である必要があります。

$p(p-4) < 0$

$0 < p < 4$

(3) $f(1) = 0$ のとき、$p$ が(2)で求めた範囲にあることの証明:

$f(1) = 1 - 3 + p = 0$ より $p = 2$。

$0 < 2 < 4$ なので、$p$ は(2)で求めた範囲にあります。

(4) $p = 2$ のとき、方程式 $f(x) = 0$ の1以外の実数解 $\alpha, \beta$ の計算:

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 = 0$

$f(1) = 0$ なので、$f(x)$ は $(x - 1)$ で割り切れます。

$f(x) = (x - 1)(x^2 - 2x - 2) = 0$

$x^2 - 2x - 2 = 0$ の解は、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

$\alpha = 1 - \sqrt{3}$, $\beta = 1 + \sqrt{3}$ ($\alpha < 1 < \beta$)

$\alpha + \beta = (1 - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3}) = 2$

$\alpha \beta = (1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 1 - 3 = -2$

(5) $S_1 = S_2$ の証明:

$S_1 = \int_{\alpha}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2) dx$

$S_2 = - \int_{1}^{\beta} (x^3 - 3x^2 + 2) dx$

ここで、解と係数の関係から、$1, \alpha, \beta$ は $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$ の解であり、 $1 + \alpha + \beta = 3$ が成立します。よって、$\alpha + \beta = 2$ が成り立ちます。

$S_1 = S_2$ を示すためには、

$\int_{\alpha}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2) dx + \int_{1}^{\beta} (x^3 - 3x^2 + 2) dx = \int_{\alpha}^{\beta} (x^3 - 3x^2 + 2) dx = 0$ を示せばよい。

ここで、$x = 1 + t$ と変数変換すると、 $dx = dt$

$g(t) = f(1+t) = (1+t)^3 - 3(1+t)^2 + 2 = t^3 - 3t$ となります。

$S_1+S_2 = \int_{1 - \alpha}^{\beta - 1} g(t)dt = \int_{\sqrt{3}}^{-\sqrt{3}} (t^3 - 3t)dt$となります。

$\int_{\sqrt{3}}^{-\sqrt{3}} (t^3 - 3t)dt = [\frac{t^4}{4} - \frac{3t^2}{2}]_{\sqrt{3}}^{-\sqrt{3}} = (\frac{9}{4} - \frac{9}{2}) - (\frac{9}{4} - \frac{9}{2}) = 0$

したがって、$S_1 = S_2$

3. 最終的な答え

(1) 極大値: $p$ (x=0), 極小値: $p-4$ (x=2)

(2) $0 < p < 4$

(3) $p = 2$ は $0 < p < 4$ を満たす。

(4) $\alpha + \beta = 2$, $\alpha \beta = -2$

(5) $S_1 = S_2$ (証明済み)