定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x + \tan x)^2 dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x + \tan x)^2 dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(\cos x + \tan x)^2$ を展開します。

$$(\cos x + \tan x)^2 = \cos^2 x + 2 \cos x \tan x + \tan^2 x$$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、

$$= \cos^2 x + 2 \sin x + \tan^2 x$$

$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ であり、$1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ なので、 $\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ となります。

$$= \cos^2 x + 2 \sin x + \frac{1}{\cos^2 x} - 1$$

よって、積分は

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left(\cos^2 x + 2 \sin x + \frac{1}{\cos^2 x} - 1\right) dx$$

各項を積分します。

$\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}$

$\int 2 \sin x dx = -2 \cos x$

$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x$

$\int -1 dx = -x$

したがって、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left(\cos^2 x + 2 \sin x + \frac{1}{\cos^2 x} - 1\right) dx = \left[\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} - 2 \cos x + \tan x - x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$$

$$= \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{4} - 2 \cos \frac{\pi}{4} + \tan \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) - \left(0 + 0 - 2 \cos 0 + \tan 0 - 0\right)$$

$$= \left(\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 - \frac{\pi}{4}\right) - (-2)$$

$$= \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} - \sqrt{2} + 1 + 2$$

$$= - \frac{\pi}{8} + \frac{13}{4} - \sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$-\frac{\pi}{8} + \frac{13}{4} - \sqrt{2}$