2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ が与えられています。 (1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求めます。 (2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ が与えられています。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求めます。

(2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を $y = ax + b$ とおきます。

$C_1$ と $l$ が接するため、$x^2 + 2x + 4 = ax + b$ は重解を持ちます。

$x^2 + (2-a)x + (4-b) = 0$ の判別式 $D_1$ は0です。

$D_1 = (2-a)^2 - 4(4-b) = 0$

$a^2 - 4a + 4 - 16 + 4b = 0$

$a^2 - 4a + 4b - 12 = 0$ ... (1)

$C_2$ と $l$ が接するため、$x^2 - 2x + 2 = ax + b$ は重解を持ちます。

$x^2 - (2+a)x + (2-b) = 0$ の判別式 $D_2$ は0です。

$D_2 = (2+a)^2 - 4(2-b) = 0$

$a^2 + 4a + 4 - 8 + 4b = 0$

$a^2 + 4a + 4b - 4 = 0$ ... (2)

(2) - (1) より

$8a + 8 = 0$

$a = -1$

(1) に代入して

$1 + 4 + 4b - 12 = 0$

$4b = 7$

$b = \frac{7}{4}$

よって、$l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$ です。

$C_1$ と $l$ の接点の $x$ 座標を求めます。

$x^2 + 2x + 4 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

$C_2$ と $l$ の接点の $x$ 座標を求めます。

$x^2 - 2x + 2 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

$C_1$ と $C_2$ の差は

$(x^2 + 2x + 4) - (x^2 - 2x + 2) = 4x + 2$

求める面積は

$\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} | (x^2 + 2x + 4) - (-x + \frac{7}{4}) - ((x^2 - 2x + 2) - (-x + \frac{7}{4})) | dx$

$= \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} | (x^2 + 2x + 4 + x - \frac{7}{4}) - (x^2 - 2x + 2 + x - \frac{7}{4}) | dx$

$= \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} | (x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - (x^2 - x + \frac{1}{4}) | dx$

$= \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} | 4x + 2 | dx$

$= \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (-4x - 2) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (4x + 2) dx$

$= [-2x^2 - 2x]_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} + [2x^2 + 2x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$

$= [-2(\frac{1}{4}) + 1] - [-2(\frac{9}{4}) + 3] + [\frac{1}{2} + 1] - [\frac{1}{2} - 1]$

$= [\frac{1}{2}] - [-\frac{9}{2} + 3] + [\frac{3}{2}] - [-\frac{1}{2}]$

$= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

$= \frac{8}{4} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $2$