$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解く問題です。 (1) $\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\tan(\theta + \frac{\pi}{3}) \ge -\frac{\sqrt{3}}{3}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解く問題です。

(1) $\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\tan(\theta + \frac{\pi}{3}) \ge -\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

まず、$t = \theta - \frac{\pi}{4}$ とおくと、$0 \le \theta < 2\pi$ より、 $-\frac{\pi}{4} \le t < 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ となります。

$\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ を解きます。

$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $t$ の値は、 $t = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ です。

$-\frac{\pi}{4} \le t < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < t < \frac{7\pi}{4}$

ここで、$t = \theta - \frac{\pi}{4}$ を代入すると、

$-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < \theta - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4}$

$\theta$ について解くと、

$0 \le \theta < \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$ または $\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{4}$

$0 \le \theta < \frac{7\pi}{12}$ または $\frac{11\pi}{12} < \theta < 2\pi$

(2) $\tan(\theta + \frac{\pi}{3}) \ge -\frac{\sqrt{3}}{3}$

まず、$t = \theta + \frac{\pi}{3}$ とおくと、$0 \le \theta < 2\pi$ より、 $\frac{\pi}{3} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$ となります。

$\tan t \ge -\frac{\sqrt{3}}{3}$ を解きます。

$\tan t = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ となる $t$ の値は、 $t = \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ です。

$\tan t$ は周期 $\pi$ を持つので、 $\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{3\pi}{2} < t \le \frac{11\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{2} < t < \frac{7\pi}{3}$

ここで、$t = \theta + \frac{\pi}{3}$ を代入すると、

$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{11\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{2} < \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{3}$

$\theta$ について解くと、

$0 \le \theta \le \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3}$ または $\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3} < \theta \le \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{3}$ または $\frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{3} < \theta < \frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{3}$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ または $\frac{7\pi}{6} < \theta \le \frac{3\pi}{2}$ または $\frac{13\pi}{6} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le \theta < \frac{7\pi}{12}$ または $\frac{11\pi}{12} < \theta < 2\pi$

(2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ または $\frac{7\pi}{6} < \theta \le \frac{3\pi}{2}$ または $\frac{13\pi}{6} < \theta < 2\pi$