与えられた6つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{x^2}{x^2-x-6} dx$ (2) $\int \frac{2}{(x-1)(x^2+1)} dx$ (3) $\int \frac{x-1}{(2-x)^3} dx$ (4) $\int \frac{2}{x(x-1)(x-2)} dx$ (5) $\int \frac{5x+3}{(x+1)(x-1)^2} dx$ (6) $\int \frac{2x}{(x-1)^2(x^2+1)} dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{x^2}{x^2-x-6} dx$

(2) $\int \frac{2}{(x-1)(x^2+1)} dx$

(3) $\int \frac{x-1}{(2-x)^3} dx$

(4) $\int \frac{2}{x(x-1)(x-2)} dx$

(5) $\int \frac{5x+3}{(x+1)(x-1)^2} dx$

(6) $\int \frac{2x}{(x-1)^2(x^2+1)} dx$

2. 解き方の手順

それぞれの不定積分について、解き方を説明します。

(1) $\int \frac{x^2}{x^2-x-6} dx$

まず、被積分関数を整理します。$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$ なので、

$\frac{x^2}{x^2-x-6} = \frac{x^2}{(x-3)(x+2)} = 1 + \frac{x+6}{(x-3)(x+2)}$

ここで、$\frac{x+6}{(x-3)(x+2)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+2}$ と部分分数分解します。

$x+6 = A(x+2) + B(x-3)$ より、

$x=3$ のとき $9 = 5A$ なので $A = \frac{9}{5}$

$x=-2$ のとき $4 = -5B$ なので $B = -\frac{4}{5}$

よって、

$\int \frac{x^2}{x^2-x-6} dx = \int (1 + \frac{9}{5(x-3)} - \frac{4}{5(x+2)}) dx = x + \frac{9}{5} \ln|x-3| - \frac{4}{5} \ln|x+2| + C$

(2) $\int \frac{2}{(x-1)(x^2+1)} dx$

$\frac{2}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$ と部分分数分解します。

$2 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)$

$x=1$ のとき $2 = 2A$ なので $A=1$

$2 = x^2+1 + (Bx+C)(x-1) = x^2+1 + Bx^2 -Bx + Cx -C$

$2 = (1+B)x^2 + (C-B)x + (1-C)$

$1+B=0$ より $B=-1$

$C-B=0$ より $C = B = -1$

$1-C = 2$ より $C=-1$

よって、

$\int \frac{2}{(x-1)(x^2+1)} dx = \int (\frac{1}{x-1} + \frac{-x-1}{x^2+1}) dx = \int (\frac{1}{x-1} - \frac{x}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1}) dx = \ln|x-1| - \frac{1}{2} \ln(x^2+1) - \arctan(x) + C$

(3) $\int \frac{x-1}{(2-x)^3} dx$

$u = 2-x$ と置換すると、$x = 2-u$、$dx = -du$

$\int \frac{x-1}{(2-x)^3} dx = \int \frac{2-u-1}{u^3} (-du) = \int \frac{u-1}{u^3} du = \int (u^{-2} - u^{-3}) du = -u^{-1} + \frac{1}{2} u^{-2} + C = -\frac{1}{2-x} + \frac{1}{2(2-x)^2} + C$

(4) $\int \frac{2}{x(x-1)(x-2)} dx$

$\frac{2}{x(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2}$

$2 = A(x-1)(x-2) + Bx(x-2) + Cx(x-1)$

$x=0$ のとき $2 = 2A$ なので $A=1$

$x=1$ のとき $2 = -B$ なので $B=-2$

$x=2$ のとき $2 = 2C$ なので $C=1$

$\int \frac{2}{x(x-1)(x-2)} dx = \int (\frac{1}{x} - \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x-2}) dx = \ln|x| - 2\ln|x-1| + \ln|x-2| + C$

(5) $\int \frac{5x+3}{(x+1)(x-1)^2} dx$

$\frac{5x+3}{(x+1)(x-1)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$

$5x+3 = A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)$

$x=-1$ のとき $-2 = 4A$ なので $A=-\frac{1}{2}$

$x=1$ のとき $8 = 2C$ なので $C=4$

$5x+3 = -\frac{1}{2}(x^2-2x+1) + B(x^2-1) + 4(x+1) = (-\frac{1}{2}+B)x^2 + (1+4)x + (-\frac{1}{2}-B+4)$

$-\frac{1}{2} + B = 0$ より $B = \frac{1}{2}$

$\int \frac{5x+3}{(x+1)(x-1)^2} dx = \int (-\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{2(x-1)} + \frac{4}{(x-1)^2}) dx = -\frac{1}{2} \ln|x+1| + \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{4}{x-1} + C$

(6) $\int \frac{2x}{(x-1)^2(x^2+1)} dx$

$\frac{2x}{(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$

$2x = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2$

$x=1$ のとき $2 = 2B$ なので $B=1$

$2x = A(x-1)(x^2+1) + x^2+1 + (Cx+D)(x^2-2x+1) = A(x^3-x^2+x-1) + x^2+1 + Cx^3-2Cx^2+Cx+Dx^2-2Dx+D = (A+C)x^3 + (-A+1-2C+D)x^2 + (A+C-2D)x + (-A+1+D)$

$A+C = 0$

$-A+1-2C+D = 0$

$A+C-2D = 2$

$-A+1+D = 0$

$A = -C$ より、$-2D=2$ よって$D=-1$, $A=0$. $C=0$, $D=-1$.よって $A=C=0$. よって、$A=0$, $C=0$, $D=-1$.

$2x = x^2 + 1 - x^2 + 2x - 1 = 2x$

$\int \frac{2x}{(x-1)^2(x^2+1)} dx = \int (\frac{1}{(x-1)^2} - \frac{1}{x^2+1}) dx = -\frac{1}{x-1} - \arctan(x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{9}{5} \ln|x-3| - \frac{4}{5} \ln|x+2| + C$

(2) $\ln|x-1| - \frac{1}{2} \ln(x^2+1) - \arctan(x) + C$

(3) $-\frac{1}{2-x} + \frac{1}{2(2-x)^2} + C$

(4) $\ln|x| - 2\ln|x-1| + \ln|x-2| + C$

(5) $-\frac{1}{2} \ln|x+1| + \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{4}{x-1} + C$

(6) $-\frac{1}{x-1} - \arctan(x) + C$