与えられた積分を計算します。具体的には、 $\int_{0}^{\pi} (x-\pi)|\cos x| dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。具体的には、

$\int_{0}^{\pi} (x-\pi)|\cos x| dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$|\cos x|$を積分範囲で場合分けします。

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos x \ge 0$ なので、 $|\cos x| = \cos x$

$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ のとき、$\cos x \le 0$ なので、 $|\cos x| = -\cos x$

したがって、積分を次のように分割します。

$\int_{0}^{\pi} (x-\pi)|\cos x| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x-\pi)\cos x dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (x-\pi)(-\cos x) dx$

それぞれの積分を部分積分で計算します。

$\int (x-\pi)\cos x dx = (x-\pi)\sin x - \int \sin x dx = (x-\pi)\sin x + \cos x + C$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x-\pi)\cos x dx = [(x-\pi)\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2}-\pi)\sin\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{2} - (0-\pi)\sin 0 - \cos 0 = -\frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0 - 0 - 1 = -\frac{\pi}{2} - 1$

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (x-\pi)(-\cos x) dx = -\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (x-\pi)\cos x dx = -[(x-\pi)\sin x + \cos x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -[(\pi-\pi)\sin\pi + \cos\pi - ((\frac{\pi}{2}-\pi)\sin\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{2})] = -[0 - 1 - (-\frac{\pi}{2}\cdot 1 + 0)] = -[-1 + \frac{\pi}{2}] = 1 - \frac{\pi}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{\pi} (x-\pi)|\cos x| dx = -\frac{\pi}{2} - 1 + 1 - \frac{\pi}{2} = -\pi$

3. 最終的な答え

$-\pi$