問題1は、$\sin \theta \cos \theta = \frac{2}{5}$ のとき、$\sin \theta - \cos \theta$ と $\sin \theta + \cos \theta$ の値を求める問題です。ただし、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ とします。 問題2は、$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、方程式 $\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を解く問題です。ただし、解答の$\theta$の範囲に条件がついています。

1. 問題の内容

問題1は、$\sin \theta \cos \theta = \frac{2}{5}$ のとき、$\sin \theta - \cos \theta$ と $\sin \theta + \cos \theta$ の値を求める問題です。ただし、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ とします。

問題2は、$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、方程式 $\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を解く問題です。ただし、解答の$\theta$の範囲に条件がついています。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) $(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 - 2\sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{2}{5}$ を代入して、 $(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2(\frac{2}{5}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

$\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\sin \theta > 0$ かつ $\cos \theta < 0$ なので、$\sin \theta - \cos \theta > 0$。よって、$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{2}{5}$ を代入して、$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + 2(\frac{2}{5}) = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$

$\sin \theta + \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{9}{5}} = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} = \pm \frac{3\sqrt{5}}{5}$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\sin \theta > 0$ かつ $\cos \theta < 0$ なので、$\sin \theta + \cos \theta$ の符号は$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の大きさによって変わります。

$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$ より $\sin \theta = \cos \theta + \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta + \cos \theta = \cos \theta + \frac{\sqrt{5}}{5} + \cos \theta = 2\cos \theta + \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta < 0$ なので、もし $2\cos \theta + \frac{\sqrt{5}}{5} > 0$ なら$\sin \theta + \cos \theta > 0$。もし $2\cos \theta + \frac{\sqrt{5}}{5} < 0$ なら$\sin \theta + \cos \theta < 0$。

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ より、$\cos^2 \theta + (\cos \theta + \frac{\sqrt{5}}{5})^2 = 1$

$\cos^2 \theta + \cos^2 \theta + \frac{2\sqrt{5}}{5}\cos \theta + \frac{5}{25} = 1$

$2\cos^2 \theta + \frac{2\sqrt{5}}{5}\cos \theta + \frac{1}{5} = 1$

$2\cos^2 \theta + \frac{2\sqrt{5}}{5}\cos \theta - \frac{4}{5} = 0$

$10\cos^2 \theta + 2\sqrt{5}\cos \theta - 4 = 0$

$\cos \theta = \frac{-2\sqrt{5} \pm \sqrt{20 - 4(10)(-4)}}{20} = \frac{-2\sqrt{5} \pm \sqrt{20+160}}{20} = \frac{-2\sqrt{5} \pm \sqrt{180}}{20} = \frac{-2\sqrt{5} \pm 6\sqrt{5}}{20}$

$\cos \theta = \frac{4\sqrt{5}}{20} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ または $\cos \theta = \frac{-8\sqrt{5}}{20} = \frac{-2\sqrt{5}}{5}$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\cos \theta < 0$ なので、$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

計算が間違っています。$\sin \theta > 0$なので、$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{4 \times 5}{25}} = \sqrt{1-\frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{2\sqrt{5}}{5} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta + \cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

問題2:

$\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ または $2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$, $n$は整数。

$2\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \frac{3\pi - 2\pi}{12} + 2n\pi = \frac{\pi}{12} + 2n\pi$

$\theta = \frac{\pi}{24} + n\pi$

$2\theta = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \frac{9\pi - 2\pi}{12} + 2n\pi = \frac{7\pi}{12} + 2n\pi$

$\theta = \frac{7\pi}{24} + n\pi$

$0 \leq \theta \leq \pi$ なので、

$\theta = \frac{\pi}{24}$ または $\theta = \frac{7\pi}{24}$

$\frac{6}{7} \pi < \theta < \frac{9}{11}\pi$なので、$\frac{6}{7} \pi \approx 0.857 \pi$, $\frac{9}{11}\pi \approx 0.818 \pi$　これは矛盾します。

条件を$\frac{6}{8} \pi < \theta < \frac{9}{10}\pi$とすると、$\frac{3}{4}\pi < \theta < \frac{9}{10}\pi$

$\frac{3}{4} \pi = 0.75\pi$, $\frac{9}{10} \pi = 0.9\pi$

$\frac{\pi}{24} \approx 0.042 \pi$, $\frac{7\pi}{24} \approx 0.292 \pi$

$\theta = \frac{\pi}{24} + \pi = \frac{25\pi}{24} > \pi$

$\theta = \frac{7\pi}{24} + \pi = \frac{31\pi}{24} > \pi$

条件を満たす$\theta$はありません。

$\frac{7}{8}\pi < \theta < \frac{10}{11}\pi$であれば、

$\frac{7}{8}\pi = 0.875\pi$, $\frac{10}{11}\pi = 0.909\pi$

$\theta = \frac{\pi}{24} + n\pi$, $\theta = \frac{7\pi}{24} + n\pi$

$n=0$, $\theta = \frac{\pi}{24}$, $\theta = \frac{7\pi}{24}$

$n=1$, $\theta = \frac{25\pi}{24} > \pi$, $\theta = \frac{31\pi}{24} > \pi$

$\frac{7\pi}{24} \approx 0.292\pi$を満たすものはありません。

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) $\sin \theta + \cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

問題2:

$\theta = \frac{\pi}{24}, \frac{7\pi}{24}$

しかし、与えられた$\theta$の範囲の条件を満たす解はありません。