与えられた定積分の値を求めます。 積分は $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\tan{x} \cos^2{x}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求めます。

積分は

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\tan{x} \cos^2{x}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ を用いて積分を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}} \cos^2{x}} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sin{x}\cos{x}}$

次に、$\sin{x}\cos{x} = \frac{1}{2}\sin{2x}$ を用いて積分を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\frac{1}{2}\sin{2x}} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sin{2x}} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \csc{2x}\, dx$

ここで、$u = 2x$ と置換すると、$du = 2\, dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$。

積分範囲は、$x=0$のとき$u=0$、$x=\frac{\pi}{4}$のとき$u=\frac{\pi}{2}$となるので、

$2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \csc{2x}\, dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \csc{u} \frac{1}{2}du = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \csc{u}\, du$

$\csc{u}$の積分は$\int \csc{u}\, du = -\ln|\csc{u} + \cot{u}| + C$であるため、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \csc{u}\, du = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \csc{u}\, du = \lim_{a \to 0^+} \left[ -\ln|\csc{u} + \cot{u}| \right]_{a}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \lim_{a \to 0^+} \left\{ -\ln|\csc{\frac{\pi}{2}} + \cot{\frac{\pi}{2}}| + \ln|\csc{a} + \cot{a}| \right\}$

$= \lim_{a \to 0^+} \left\{ -\ln|1 + 0| + \ln|\csc{a} + \cot{a}| \right\} = \lim_{a \to 0^+} \ln|\csc{a} + \cot{a}|$

ここで、$a \to 0^+$ のとき、$\csc{a} \to \infty$ かつ $\cot{a} \to \infty$ であるため、$\ln|\csc{a} + \cot{a}| \to \infty$。

したがって、積分は発散します。

3. 最終的な答え

発散