実数 $t$ に対して、$0 \le x \le 2$ における $|x^3 - 3tx^2 - \frac{3}{4}|$ の最大値を $f(t)$ とする。このとき、$f(t)$ を $t$ の式で表し、そのグラフを描け。

1. 問題の内容

実数 $t$ に対して、$0 \le x \le 2$ における $|x^3 - 3tx^2 - \frac{3}{4}|$ の最大値を $f(t)$ とする。このとき、$f(t)$ を $t$ の式で表し、そのグラフを描け。

2. 解き方の手順

まず、$g(x) = x^3 - 3tx^2 - \frac{3}{4}$ とおく。絶対値を外した関数について、最大値を考える。

$g'(x) = 3x^2 - 6tx = 3x(x-2t)$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ または $x = 2t$。

$0 \le x \le 2$ での $g(x)$ の最大値を考える。

$t$ の範囲で場合分けを行う。

(i) $2t \le 0$ つまり $t \le 0$ のとき、$g(x)$ は $x=0$ で極値（極小値）をとる。$0 \le x \le 2$ で $g(x)$ は単調減少なので、$x=0$ のとき最小値 $g(0) = -\frac{3}{4}$ をとり、$x=2$ のとき最大値 $g(2) = 8 - 12t - \frac{3}{4} = \frac{29}{4} - 12t$ をとる。

$f(t) = \max\{|\frac{29}{4} - 12t|, |-\frac{3}{4}|\} = \max\{|\frac{29}{4} - 12t|, \frac{3}{4}\}$

$t \le 0$ において、$\frac{29}{4} - 12t \ge \frac{29}{4} > 0$ なので、 $|\frac{29}{4} - 12t| = \frac{29}{4} - 12t$。

$f(t) = \max\{\frac{29}{4} - 12t, \frac{3}{4}\}$

$\frac{29}{4} - 12t = \frac{3}{4}$ となるのは $12t = \frac{26}{4} = \frac{13}{2}$ より $t = \frac{13}{24}$。しかし $t \le 0$ なので条件を満たさない。

したがって $f(t) = \frac{29}{4} - 12t$

(ii) $0 \le 2t \le 2$ つまり $0 \le t \le 1$ のとき、$g(x)$ は $x=0, 2t$ で極値をとり、$g(0) = -\frac{3}{4}$, $g(2t) = (2t)^3 - 3t(2t)^2 - \frac{3}{4} = 8t^3 - 12t^3 - \frac{3}{4} = -4t^3 - \frac{3}{4}$

$g(2) = 8 - 12t - \frac{3}{4} = \frac{29}{4} - 12t$

$f(t) = \max\{|\frac{29}{4} - 12t|, |-\frac{3}{4}|, |-4t^3 - \frac{3}{4}|\}$

$= \max\{|\frac{29}{4} - 12t|, \frac{3}{4}, |4t^3 + \frac{3}{4}|\}$

ここで $0 \le t \le 1$ より、$|4t^3 + \frac{3}{4}| = 4t^3 + \frac{3}{4} \le 4 + \frac{3}{4} = \frac{19}{4}$

$|4t^3 + \frac{3}{4}| \ge \frac{3}{4}$

$|\frac{29}{4} - 12t|$ と $|4t^3 + \frac{3}{4}|$ の大小関係を見る。

$\frac{29}{4} - 12t = 4t^3 + \frac{3}{4}$ となる $t$ について、$4t^3 + 12t - \frac{26}{4} = 0$ つまり $8t^3 + 24t - 13 = 0$

$t = 0.5$ くらいを代入すると、$8(0.125) + 24(0.5) - 13 = 1 + 12 - 13 = 0$

よって $t = \frac{1}{2}$ が解。

$f(t) = \max\{\frac{29}{4} - 12t, 4t^3 + \frac{3}{4}\}$

$\frac{29}{4} - 12t = \frac{3}{4}$ は $t = \frac{13}{24}$

$4t^3 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$ は $t=0$

(iii) $2t \ge 2$ つまり $t \ge 1$ のとき、$g(x)$ は $x=2t$ で極値をとるが、$x>2$ なので考える必要なし。

$g(0) = -\frac{3}{4}$

$g(2) = 8 - 12t - \frac{3}{4} = \frac{29}{4} - 12t$

$f(t) = \max\{|\frac{29}{4} - 12t|, |-\frac{3}{4}|\} = \max\{|12t - \frac{29}{4}|, \frac{3}{4}\}$

$12t - \frac{29}{4} = \frac{3}{4}$ は $12t = \frac{32}{4} = 8$ つまり $t = \frac{2}{3}$ これは $t \ge 1$ に反する。

よって $f(t) = 12t - \frac{29}{4}$

以上より

$f(t) = \begin{cases}

\frac{29}{4} - 12t & t \le \frac{1}{2} \\

4t^3 + \frac{3}{4} & \frac{1}{2} \le t \le \frac{13}{24} \\

\frac{29}{4} - 12t & \frac{13}{24} \le t \le 1 \\

12t - \frac{29}{4} & t \ge 1

\end{cases}$

$f(t) = \begin{cases}

\frac{29}{4} - 12t & t \le \frac{1}{2} \\

\max\{\frac{29}{4} - 12t, 4t^3 + \frac{3}{4} \} & \frac{1}{2} \le t \le 1 \\

12t - \frac{29}{4} & t \ge 1

\end{cases}$

$f(\frac{1}{2}) = \frac{29}{4} - 12(\frac{1}{2}) = \frac{29}{4} - 6 = \frac{5}{4}$

$f(1) = 12 - \frac{29}{4} = \frac{48 - 29}{4} = \frac{19}{4}$

3. 最終的な答え

$f(t) = \begin{cases}

\frac{29}{4} - 12t & t \le \frac{1}{2} \\

\max\{4t^3 + \frac{3}{4}, \frac{29}{4} - 12t \} & \frac{1}{2} \le t \le 1 \\

12t - \frac{29}{4} & t \ge 1

\end{cases}$

グラフは省略します。