$\cos(\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3}) \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$\cos(\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3}) \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3}$ と置きます。

すると、$\cos t \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

$\cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $t$ は $t = \pm \frac{\pi}{4}$ です。

$\cos t \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $t$ の範囲は $\frac{\pi}{4} \leq |t| \leq 2\pi - \frac{\pi}{4}$ となり、

$\frac{\pi}{4} + 2n\pi \leq t \leq \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$ または $-\frac{7\pi}{4} + 2n\pi \leq t \leq -\frac{\pi}{4} + 2n\pi$ （$n$ は整数）と表せます。

一般的に、$2n\pi - \frac{7\pi}{4} \leq t \leq 2n\pi - \frac{\pi}{4}$ または $2n\pi + \frac{\pi}{4} \leq t \leq 2n\pi + \frac{7\pi}{4}$ となります。

つまり、$-\frac{7\pi}{4} \leq t \leq -\frac{\pi}{4}$ または $\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{7\pi}{4}$ です。

$t = \frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3}$ なので、これをもとの変数 $\theta$ で表します。

$-\frac{7\pi}{4} \leq \frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3} \leq -\frac{\pi}{4}$ または $\frac{\pi}{4} \leq \frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3} \leq \frac{7\pi}{4}$

各辺に $\frac{\pi}{3}$ を足します。

$-\frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{3} \leq \frac{\theta}{2} \leq -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$ または $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} \leq \frac{\theta}{2} \leq \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$

$-\frac{21\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} \leq \frac{\theta}{2} \leq -\frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12}$ または $\frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} \leq \frac{\theta}{2} \leq \frac{21\pi}{12} + \frac{4\pi}{12}$

$-\frac{17\pi}{12} \leq \frac{\theta}{2} \leq \frac{\pi}{12}$ または $\frac{7\pi}{12} \leq \frac{\theta}{2} \leq \frac{25\pi}{12}$

各辺に 2 をかけます。

$-\frac{17\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ または $\frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{25\pi}{6}$

$\theta$ の範囲を $0 \leq \theta < 2\pi$ で考えると、

$-\frac{17\pi}{6} = -\frac{12\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = -2\pi - \frac{5\pi}{6}$ なので、 $-\frac{17\pi}{6}$ は $\frac{7\pi}{6}$ に対応します。

$\frac{25\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$ なので、$\frac{25\pi}{6}$ は $\frac{\pi}{6}$ に対応します。

よって、解は $\frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{13\pi}{6}$となります。

$\theta$の範囲を$0 \le \theta < 2\pi$で表すと、

$\frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq 2\pi$ または $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$

となります。

よって、$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ または $\frac{7\pi}{6} \leq \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ , $\frac{7\pi}{6} \leq \theta < 2\pi$