以下の定積分を計算します。 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\tan x \cos^2 x}$

1. 問題の内容

以下の定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\tan x \cos^2 x}$

2. 解き方の手順

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$であることを利用して積分を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\tan x \cos^2 x} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\frac{\sin x}{\cos x} \cos^2 x} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sin x \cos x}$

次に、$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$であることを利用します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sin x \cos x} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\frac{1}{2} \sin 2x} = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sin 2x}$

ここで、$u = 2x$とおくと、$du = 2dx$より、$dx = \frac{1}{2}du$です。

また、積分範囲は$x: 0 \to \frac{\pi}{4}$に対して、$u: 0 \to \frac{\pi}{2}$となります。

したがって、積分は次のようになります。

$2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sin 2x} = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{2} du}{\sin u} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{du}{\sin u} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \csc u \, du$

$\int \csc u \, du = -\ln |\csc u + \cot u| + C$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \csc u \, du = \lim_{a \to 0^+} \lim_{b \to \frac{\pi}{2}^-} \int_{a}^{b} \csc u \, du = \lim_{a \to 0^+} \lim_{b \to \frac{\pi}{2}^-} [-\ln |\csc u + \cot u|]_a^b$

$= \lim_{b \to \frac{\pi}{2}^-} [-\ln |\csc b + \cot b|] - \lim_{a \to 0^+} [-\ln |\csc a + \cot a|]$

$= -\ln |1 + 0| + \lim_{a \to 0^+} \ln |\csc a + \cot a|$

$= 0 + \lim_{a \to 0^+} \ln |\frac{1}{\sin a} + \frac{\cos a}{\sin a}|$

$= \lim_{a \to 0^+} \ln |\frac{1 + \cos a}{\sin a}|$

ここで、$a \to 0^+$のとき、$1 + \cos a \to 2$であり、$\sin a \to 0^+$であるため、$\frac{1 + \cos a}{\sin a} \to \infty$となります。

したがって、$\lim_{a \to 0^+} \ln |\frac{1 + \cos a}{\sin a}| = \infty$

したがって、積分は発散します。

3. 最終的な答え

発散