定積分 $\int_{0}^{2} |xe^x - e^x| dx$ を計算します。ただし、$e$ は自然対数の底です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} |xe^x - e^x| dx$ を計算します。ただし、$e$ は自然対数の底です。

2. 解き方の手順

まず、$xe^x - e^x = e^x(x-1)$ であることに注目します。

$e^x > 0$ なので、符号は $x-1$ によって決まります。

$0 \leq x \leq 1$ のとき $x-1 \leq 0$ なので $|xe^x - e^x| = e^x - xe^x$

$1 \leq x \leq 2$ のとき $x-1 \geq 0$ なので $|xe^x - e^x| = xe^x - e^x$

したがって、積分を2つに分割します。

$\int_{0}^{2} |xe^x - e^x| dx = \int_{0}^{1} (e^x - xe^x) dx + \int_{1}^{2} (xe^x - e^x) dx$

部分積分を使って $\int xe^x dx$ を計算します。

$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$

したがって、

$\int (e^x - xe^x) dx = \int e^x dx - \int xe^x dx = e^x - (xe^x - e^x) + C = 2e^x - xe^x + C$

$\int (xe^x - e^x) dx = \int xe^x dx - \int e^x dx = xe^x - e^x - e^x + C = xe^x - 2e^x + C$

よって、

$\int_{0}^{1} (e^x - xe^x) dx = [2e^x - xe^x]_{0}^{1} = (2e - e) - (2 - 0) = e - 2$

$\int_{1}^{2} (xe^x - e^x) dx = [xe^x - 2e^x]_{1}^{2} = (2e^2 - 2e^2) - (e - 2e) = 0 - (-e) = e$

$\int_{0}^{2} |xe^x - e^x| dx = (e - 2) + e = 2e - 2 = 2(e - 1)$

3. 最終的な答え

$2e - 2$