極限 $\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+4} + \cdots + \frac{1}{3n})$ を求めます。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+4} + \cdots + \frac{1}{3n})$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた和をシグマ記号を使って書き換えます。和の各項の分母は $n+2k$ の形をしており、$k$ は $1$ からある値まで変化します。$\frac{1}{3n}$ の項は $n + 2k = 3n$ を満たすので、$2k = 2n$ から $k=n$ です。したがって、和は次のようになります。

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+2k}$$

この式を $n$ でくくり出すと、次のようになります。

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n(1+\frac{2k}{n})} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{2k}{n}}$$

これはリーマン和の形をしているので、積分に書き換えることができます。$x = \frac{k}{n}$ とおくと、$dx = \frac{1}{n}$ となります。$k=1$ のとき $x = \frac{1}{n} \to 0$ ($n \to \infty$), $k=n$ のとき $x = \frac{n}{n} = 1$ です。したがって、極限は次の積分で表されます。

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{2k}{n}} = \int_0^1 \frac{1}{1+2x} dx$$

この積分を計算します。$u = 1+2x$ とおくと、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$ となります。$x=0$ のとき $u=1$, $x=1$ のとき $u=3$ です。したがって、積分は次のようになります。

$$\int_0^1 \frac{1}{1+2x} dx = \frac{1}{2} \int_1^3 \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\ln |u|]_1^3 = \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln 1) = \frac{1}{2} (\ln 3 - 0) = \frac{1}{2} \ln 3$$

したがって、極限は $\frac{1}{2} \ln 3$ となります。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 2

ウ: 3