$0 \le \theta \le \pi$ のとき、方程式 $\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を解く問題です。ただし、答えは $\frac{7}{8}\pi \le \theta \le \frac{10}{11}\pi$ の範囲に収まるようにします。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \pi$ のとき、方程式 $\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を解く問題です。ただし、答えは $\frac{7}{8}\pi \le \theta \le \frac{10}{11}\pi$ の範囲に収まるようにします。

2. 解き方の手順

まず、$2\theta + \frac{\pi}{6} = x$ とおきます。すると、方程式は $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

$0 \le \theta \le \pi$ より、

$0 \le 2\theta \le 2\pi$

$\frac{\pi}{6} \le 2\theta + \frac{\pi}{6} \le 2\pi + \frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{13}{6}\pi$

$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $x$ は、

$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi, \frac{9}{4}\pi, \frac{11}{4}\pi$

ただし、$\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{13}{6}\pi$ より、 $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$ です。

$2\theta + \frac{\pi}{6} = x$ より、

$2\theta = x - \frac{\pi}{6}$

$\theta = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{12}$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi - 2\pi}{24} = \frac{\pi}{24}$

$x = \frac{3\pi}{4}$ のとき、$\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{12} = \frac{9\pi - 2\pi}{24} = \frac{7\pi}{24}$

$x = \frac{9\pi}{4}$ のとき、$\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{9\pi}{8} - \frac{\pi}{12} = \frac{27\pi - 2\pi}{24} = \frac{25\pi}{24}$

$\theta = \frac{\pi}{24}, \frac{7\pi}{24}, \frac{25\pi}{24}$

$\frac{7}{8}\pi < \frac{10}{11}\pi$ という条件が与えられているので、

$\frac{7\pi}{8} \le \theta \le \frac{10\pi}{11}$を満たす$\theta$を求める。

$\frac{7\pi}{8} = \frac{21\pi}{24}, \frac{10\pi}{11} = \frac{240\pi}{264}, \frac{25\pi}{24}$

$\theta = \frac{25\pi}{24}$は$\frac{21\pi}{24} = \frac{7}{8}\pi \le \theta \le \frac{10}{11}\pi$ の範囲には収まらない。

したがって、$\theta = \frac{7\pi}{24}$は範囲に収まらないので、答えは存在しない。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{7}{24}\pi, \frac{25}{24}\pi$