2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。 (1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。 (2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。

(2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を $y = ax + b$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 + 2x + 4 = ax + b$ が重解を持つことである。

$x^2 + (2-a)x + (4-b) = 0$ の判別式 $D_1$ が 0 である。

$D_1 = (2-a)^2 - 4(4-b) = 0$

$4 - 4a + a^2 - 16 + 4b = 0$

$a^2 - 4a + 4b - 12 = 0$ ...(1)

$C_2$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 - 2x + 2 = ax + b$ が重解を持つことである。

$x^2 - (2+a)x + (2-b) = 0$ の判別式 $D_2$ が 0 である。

$D_2 = (2+a)^2 - 4(2-b) = 0$

$4 + 4a + a^2 - 8 + 4b = 0$

$a^2 + 4a + 4b - 4 = 0$ ...(2)

(1) - (2) より、 $-8a - 8 = 0$ となり、$a = -1$。

これを(1)に代入すると、 $1 + 4 + 4b - 12 = 0$ より、$4b = 7$, $b = \frac{7}{4}$。

したがって、$l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$。

(2) $C_1 - C_2 = (x^2+2x+4) - (x^2-2x+2) = 4x+2$

$4x+2=0$ より $x=-\frac{1}{2}$.

$C_1: y=x^2+2x+4$ と $l: y=-x+\frac{7}{4}$ の交点は

$x^2+2x+4 = -x+\frac{7}{4}$

$x^2+3x+\frac{9}{4}=0$

$(x+\frac{3}{2})^2 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$.

$C_2: y=x^2-2x+2$ と $l: y=-x+\frac{7}{4}$ の交点は

$x^2-2x+2 = -x+\frac{7}{4}$

$x^2-x+\frac{1}{4} = 0$

$(x-\frac{1}{2})^2=0$

$x=\frac{1}{2}$

求める面積は

$\int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x^2+2x+4 - (-x+\frac{7}{4}))dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2-2x+2 - (-x+\frac{7}{4}))dx$

$= \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x^2+3x+\frac{9}{4})dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2-x+\frac{1}{4})dx$

$= [\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x]_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} + [\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$

$= (\frac{-1}{24} + \frac{3}{8} - \frac{9}{8}) - (\frac{-27}{24} + \frac{27}{8} - \frac{27}{8}) + (\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) - (\frac{-1}{24} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8})$

$= \frac{13}{6}$

$\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} ((x^2+2x+4) - (x^2-2x+2)) dx - \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2+2x+4 - (-x + \frac{7}{4}) dx$

$\int_{-\frac{3}{2}}^{1/2} (x^2 + 2x + 4 - x^2 + 2x - 2) dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{1/2} (4x + 2) dx= [2x^2+2x]_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}}=(2(\frac{1}{4})+2(\frac{1}{2})-(2(\frac{9}{4})+2(-\frac{3}{2}))) = \frac{1}{2}+1-\frac{9}{2}+3= -4 + 4= 0$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{1}{6}$