与えられた4つの不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$ (2) $\int \frac{x\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx$ (3) $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} dx$ (4) $\int \frac{dx}{(x+1)^2 \sqrt{1-x^2}}$

はい、承知いたしました。問題の解き方を説明します。

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$

(2) $\int \frac{x\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx$

(3) $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} dx$

(4) $\int \frac{dx}{(x+1)^2 \sqrt{1-x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$

$u = \sqrt{x+1}$ と置換すると、$u^2 = x+1$ より $x = u^2-1$ であり、$dx = 2u du$ となります。

したがって、積分は

$\int \frac{2u du}{(u^2-1)u} = 2 \int \frac{du}{u^2-1} = 2 \int \frac{1}{2} (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}) du = \int (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}) du$

$= \ln|u-1| - \ln|u+1| + C = \ln|\frac{u-1}{u+1}| + C = \ln|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}| + C$

(2) $\int \frac{x\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx$

$u = \sqrt{x}$ と置換すると、$x = u^2$ より $dx = 2u du$ となります。

したがって、積分は

$\int \frac{u^2 \cdot u}{1+u} 2u du = 2 \int \frac{u^4}{1+u} du$

ここで、多項式の割り算を行うと $u^4 = (u+1)(u^3 - u^2 + u -1) + 1$

よって、$\frac{u^4}{1+u} = u^3 - u^2 + u - 1 + \frac{1}{1+u}$

$2 \int (u^3 - u^2 + u - 1 + \frac{1}{1+u}) du = 2 (\frac{u^4}{4} - \frac{u^3}{3} + \frac{u^2}{2} - u + \ln|1+u|) + C$

$= \frac{x^2}{2} - \frac{2x\sqrt{x}}{3} + x - 2\sqrt{x} + 2\ln|1+\sqrt{x}| + C$

(3) $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} dx$

$x = \sinh t$ と置換すると、$dx = \cosh t dt$ となり、$\sqrt{x^2+1} = \sqrt{\sinh^2 t + 1} = \sqrt{\cosh^2 t} = \cosh t$

$\int \frac{\sinh^2 t}{\cosh t} \cosh t dt = \int \sinh^2 t dt = \int \frac{\cosh 2t - 1}{2} dt = \frac{1}{2} \int (\cosh 2t - 1) dt$

$= \frac{1}{2} (\frac{\sinh 2t}{2} - t) + C = \frac{1}{4} (2\sinh t \cosh t) - \frac{1}{2} t + C = \frac{1}{2} \sinh t \cosh t - \frac{1}{2} t + C$

$= \frac{1}{2} x \sqrt{x^2+1} - \frac{1}{2} \sinh^{-1} x + C = \frac{1}{2} x \sqrt{x^2+1} - \frac{1}{2} \ln(x + \sqrt{x^2+1}) + C$

(4) $\int \frac{dx}{(x+1)^2 \sqrt{1-x^2}}$

$x = \sin \theta$ と置換すると、$dx = \cos \theta d\theta$ となり、$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 \theta} = \cos \theta$

$\int \frac{\cos \theta d\theta}{(\sin \theta + 1)^2 \cos \theta} = \int \frac{d\theta}{(\sin \theta + 1)^2}$

$\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$ と置換すると、$d\theta = \frac{2}{1+t^2} dt$

$\int \frac{1}{(\frac{2t}{1+t^2} + 1)^2} \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{2(1+t^2)}{(2t+1+t^2)^2} dt = \int \frac{2(1+t^2)}{(t+1)^4} dt$

$t = \tan(\frac{\theta}{2})$

$\int \frac{1}{(x+1)^2\sqrt{1-x^2}}dx = \frac{x}{x+1} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\ln|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}| + C$

(2) $\frac{x^2}{2} - \frac{2x\sqrt{x}}{3} + x - 2\sqrt{x} + 2\ln|1+\sqrt{x}| + C$

(3) $\frac{1}{2} x \sqrt{x^2+1} - \frac{1}{2} \ln(x + \sqrt{x^2+1}) + C$

(4) $-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x+1}+C$

あるいは

$\frac{x}{x+1}+C$

積分定数は省略せずに必ず書きましょう。