問題4: $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $4\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$ を解く。 問題5: 指定された範囲において、次の不等式を解く。 (1) $\sin \theta \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $0 \le \theta < 2\pi$ (2) $\cos \theta > \frac{\sqrt{2}}{2}$, $0 \le \theta < 2\pi$ (3) $\tan \theta \le -\sqrt{3}$, $\pi \le \theta \le 2\pi$

1. 問題の内容

問題4: $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $4\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$ を解く。

問題5: 指定された範囲において、次の不等式を解く。

(1) $\sin \theta \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $0 \le \theta < 2\pi$

(2) $\cos \theta > \frac{\sqrt{2}}{2}$, $0 \le \theta < 2\pi$

(3) $\tan \theta \le -\sqrt{3}$, $\pi \le \theta \le 2\pi$

2. 解き方の手順

問題4:

まず、与えられた方程式を $\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4})$ について解きます。

$4\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$

$4\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{4}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \pm \frac{1}{2}$

次に、$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$ と $\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$ のそれぞれについて $\theta$ を求めます。

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

$\theta = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4}, \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{4}$

$\theta = -\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の条件を満たすように、$2\pi$ を足して調整します。

$\theta = -\frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{23\pi}{12}$

$\theta = \frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}$

問題5:

(1) $\sin \theta \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $0 \le \theta < 2\pi$

単位円で考えると、$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $\theta = \frac{5\pi}{3}$ と $\theta = \frac{4\pi}{3}$ です。

$\sin \theta \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$\frac{5\pi}{3} \le \theta < 2\pi$ または $0 \le \theta \le \frac{4\pi}{3}$ なので、

$0 \le \theta \le \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \le \theta < 2\pi$

(2) $\cos \theta > \frac{\sqrt{2}}{2}$, $0 \le \theta < 2\pi$

単位円で考えると、$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{4}$ と $\theta = \frac{7\pi}{4}$ です。

$\cos \theta > \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは、$0 \le \theta < \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} < \theta < 2\pi$

(3) $\tan \theta \le -\sqrt{3}$, $\pi \le \theta \le 2\pi$

$\tan \theta = -\sqrt{3}$ となるのは $\theta = \frac{2\pi}{3}$ と $\theta = \frac{5\pi}{3}$ です。

範囲が $\pi \le \theta \le 2\pi$ なので、$\theta = \frac{5\pi}{3}$ が該当します。

$\tan \theta \le -\sqrt{3}$ となるのは、$\pi \le \theta \le \frac{4\pi}{3}$ と $\frac{5\pi}{3} < \theta \le 2\pi$の間です。$\frac{2\pi}{3}$ は$\pi$よりも小さいので、 $\frac{4\pi}{3} < \theta \le \frac{5\pi}{3}$.

$\tan \theta$ は $\theta = \frac{3\pi}{2}$ で定義されないので、$\theta \ne \frac{3\pi}{2}$ に注意して、$\frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{2}$ と $\frac{3\pi}{2} < \theta \le \frac{5\pi}{3}$。

また $\pi \le \theta \le 2\pi$ なので、$\frac{4\pi}{3} < \theta \le \frac{5\pi}{3}$です。

3. 最終的な答え

問題4: $\theta = \frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}$

問題5:

(1) $0 \le \theta \le \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \le \theta < 2\pi$

(2) $0 \le \theta < \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} < \theta < 2\pi$

(3) $\frac{4\pi}{3} < \theta \le \frac{5\pi}{3}$