2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。 (1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める問題。ただし、直線 $l$ の方程式は $y = -x + \frac{1}{2}$ の形で与えられている。 (2) $C_1$ と $C_2$ と直線 $l$ で囲まれた図形の面積を求める問題。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める問題。ただし、直線 $l$ の方程式は $y = -x + \frac{1}{2}$ の形で与えられている。

(2) $C_1$ と $C_2$ と直線 $l$ で囲まれた図形の面積を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $C_1$ と $l$ が接する条件を考える。

$x^2 + 2x + 4 = -x + \frac{1}{2}$

$x^2 + 3x + \frac{7}{2} = 0$

判別式 $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{7}{2} = 9 - 14 = -5$

しかし、接するので判別式は0になるはずである。

直線の式を $y = ax + b$ とおく。

$C_1: x^2 + 2x + 4 = ax + b$

$x^2 + (2-a)x + (4-b) = 0$

判別式 $D_1 = (2-a)^2 - 4(4-b) = 0$

$C_2: x^2 - 2x + 2 = ax + b$

$x^2 - (2+a)x + (2-b) = 0$

判別式 $D_2 = (2+a)^2 - 4(2-b) = 0$

$D_1: 4 - 4a + a^2 - 16 + 4b = 0$

$a^2 - 4a + 4b - 12 = 0$

$D_2: 4 + 4a + a^2 - 8 + 4b = 0$

$a^2 + 4a + 4b - 4 = 0$

$D_2 - D_1: 8a + 8 = 0$

$a = -1$

$1 + 4 + 4b - 4 = 0$

$4b = -1$

$b = -\frac{1}{4}$

よって、直線 $l$ の方程式は $y = -x - \frac{1}{4}$

しかし、問題には $y=-x+\frac{1}{2}$ と書いてあるので問題が間違っている。

(1) 恐らく問題には$C_1: y=x^2+2x+4$, $C_2:y=x^2-2x+2$の両方に接する直線は$y=-x+\frac{10}{4}$ or $y=-x+\frac{5}{2}$になっていると推測される。

仮に $y = -x + b$ とすると

$x^2 + 2x + 4 = -x + b$

$x^2 + 3x + (4-b) = 0$

$D = 9 - 4(4-b) = 0$

$9 - 16 + 4b = 0$

$4b = 7$

$b = \frac{7}{4}$

$x^2 - 2x + 2 = -x + b$

$x^2 - x + (2-b) = 0$

$D = 1 - 4(2-b) = 0$

$1 - 8 + 4b = 0$

$4b = 7$

$b = \frac{7}{4}$

よって直線 $l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $C_1$ と $C_2$ の交点を求める。

$x^2 + 2x + 4 = x^2 - 2x + 2$

$4x = -2$

$x = -\frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{4} - 2(-\frac{1}{2}) + 2 = \frac{1}{4} + 1 + 2 = \frac{13}{4}$

$C_1$ と $l$ の接点は、

$x^2 + 3x + 4 - \frac{7}{4} = 0$

$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

$y = -(-\frac{3}{2}) + \frac{7}{4} = \frac{6}{4} + \frac{7}{4} = \frac{13}{4}$

$C_2$ と $l$ の接点は、

$x^2 - x + 2 - \frac{7}{4} = 0$

$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2} + \frac{7}{4} = \frac{5}{4}$

$C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分の積分を計算すると

$\int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x^2 + 2x + 4 - (-x + \frac{7}{4})) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} ((x^2 - 2x + 2)- (-x + \frac{7}{4}) )dx$

$= \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x^2 + 3x + \frac{9}{4}) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2 - x + \frac{1}{4}) dx$

$= [\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + \frac{9}{4}x]_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} + [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{4}x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$

$= [-\frac{1}{24} + \frac{3}{8} - \frac{9}{8}] - [-\frac{27}{24} + \frac{27}{8} - \frac{27}{8}] + [\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8}] - [-\frac{1}{24} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8}]$

$= -\frac{1}{24} - \frac{6}{8} - (-\frac{27}{24}) + \frac{1}{24} - (-\frac{1}{24})$

$= -\frac{1}{24} - \frac{18}{24} + \frac{27}{24} + \frac{1}{24} + \frac{1}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.

$\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} \lvert (x^2+2x+4)-(-x+\frac{7}{4})\rvert dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \lvert (x^2-2x+2)-(-x+\frac{7}{4})\rvert dx$

=$\frac{1}{3}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{4}$

(2) $\frac{1}{3}$