3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が、$x=0$ で極大値2をとり、$x=2$ で極小値-6をとる時、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が、$x=0$ で極大値2をとり、$x=2$ で極小値-6をとる時、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた条件から以下のことがわかる。

* $f(0) = 2$

* $f(2) = -6$

* $f'(0) = 0$

* $f'(2) = 0$

まず、$f(0) = 2$ より、

$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = d = 2$

したがって、$d = 2$ である。

次に、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$f'(0) = 0$ より、

$f'(0) = 3a(0)^2 + 2b(0) + c = c = 0$

したがって、$c = 0$ である。

ここで、$f(x)$ は、

$f(x) = ax^3 + bx^2 + 2$

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx$

次に、$f(2) = -6$ より、

$f(2) = a(2)^3 + b(2)^2 + 2 = 8a + 4b + 2 = -6$

$8a + 4b = -8$

$2a + b = -2$

$f'(2) = 0$ より、

$f'(2) = 3a(2)^2 + 2b(2) = 12a + 4b = 0$

$3a + b = 0$

連立方程式を解く。

$2a + b = -2$

$3a + b = 0$

上の式から下の式を引くと、

$-a = -2$

$a = 2$

$3a + b = 0$ に $a = 2$ を代入すると、

$3(2) + b = 0$

$6 + b = 0$

$b = -6$

以上より、$a = 2, b = -6, c = 0, d = 2$ である。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -6$

$c = 0$

$d = 2$