領域 $D$ において、二重積分 $\iint_D xy \, dxdy$ を計算します。ただし、領域 $D$ は $x \le y \le 2-x$ かつ $0 \le x \le 1$ で定義されています。

1. 問題の内容

領域 $D$ において、二重積分 $\iint_D xy \, dxdy$ を計算します。ただし、領域 $D$ は $x \le y \le 2-x$ かつ $0 \le x \le 1$ で定義されています。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲を確認します。$x$ は $0$ から $1$ まで、$y$ は $x$ から $2-x$ まで変化します。したがって、二重積分は次のようになります。

$$\iint_D xy \, dxdy = \int_0^1 \int_x^{2-x} xy \, dy dx$$

まず、$y$ について積分します。

$$\int_x^{2-x} xy \, dy = x \int_x^{2-x} y \, dy = x \left[ \frac{1}{2}y^2 \right]_x^{2-x} = x \left( \frac{1}{2}(2-x)^2 - \frac{1}{2}x^2 \right)$$

これを計算します。

$$= \frac{1}{2}x \left( (4 - 4x + x^2) - x^2 \right) = \frac{1}{2}x (4 - 4x) = 2x - 2x^2$$

次に、$x$ について積分します。

$$\int_0^1 (2x - 2x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_0^1 = 1^2 - \frac{2}{3}(1)^3 - (0^2 - \frac{2}{3}(0)^3) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$