図に示された領域 $D$ に対して、2重積分 $\iint_D f(x,y) \,dxdy$ を、$dxdy$ と $dydx$ の2通りの累次積分で表す。ここでは問題番号 (2), (3), (4) に対応する領域について解く。

1. 問題の内容

図に示された領域 $D$ に対して、2重積分 $\iint_D f(x,y) \,dxdy$ を、$dxdy$ と $dydx$ の2通りの累次積分で表す。ここでは問題番号 (2), (3), (4) に対応する領域について解く。

2. 解き方の手順

(2) の領域について

領域 $D$ は、$x$ に関して $-4 \le x \le 0$ であり、$y$ に関しては、$0 \le y \le x+4$ である。また、$y$ に関して、$0 \le y \le 4$ であり、$x$ に関しては、$-4 \le x \le y-4$ である。

従って、2重積分は以下のようになる。

$\iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_{-4}^0 \int_0^{x+4} f(x,y) \,dydx = \int_0^4 \int_{-4}^{y-4} f(x,y) \,dxdy$

(3) の領域について

領域 $D$ は、円 $x^2 + y^2 = 1$ の第一象限の部分であり、$y=x$ より下の部分である。$x$ に関して $0 \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ であり、$y$ に関して $x \le y \le \sqrt{1-x^2}$である。また、$y$ に関して $0 \le y \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ であり、$x$ に関して $y \le x \le \sqrt{1-y^2}$ である。

$\iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \int_x^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y) \,dydx = \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \int_y^{\sqrt{1-y^2}} f(x,y) \,dxdy$

(4) の領域について

領域 $D$ は、$y = x^2$ と $x = y^2$ で囲まれた領域である。これらの交点は $(0,0)$ と $(1,1)$ である。$x$ に関して $0 \le x \le 1$ であり、$y$ に関して $x^2 \le y \le \sqrt{x}$である。また、$y$ に関して $0 \le y \le 1$ であり、$x$ に関して $y^2 \le x \le \sqrt{y}$ である。

$\iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_0^1 \int_{x^2}^{\sqrt{x}} f(x,y) \,dydx = \int_0^1 \int_{y^2}^{\sqrt{y}} f(x,y) \,dxdy$

3. 最終的な答え

(2) $\iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_{-4}^0 \int_0^{x+4} f(x,y) \,dydx = \int_0^4 \int_{-4}^{y-4} f(x,y) \,dxdy$

(3) $\iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \int_x^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y) \,dydx = \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \int_y^{\sqrt{1-y^2}} f(x,y) \,dxdy$

(4) $\iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_0^1 \int_{x^2}^{\sqrt{x}} f(x,y) \,dydx = \int_0^1 \int_{y^2}^{\sqrt{y}} f(x,y) \,dxdy$