与えられた積分 $\int (\tan x + \frac{3}{\tan x})^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (\tan x + \frac{3}{\tan x})^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(\tan x + \frac{3}{\tan x})^2 = \tan^2 x + 2 \cdot \tan x \cdot \frac{3}{\tan x} + (\frac{3}{\tan x})^2 = \tan^2 x + 6 + \frac{9}{\tan^2 x} = \tan^2 x + 6 + 9\cot^2 x$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (\tan^2 x + 6 + 9\cot^2 x) dx = \int \tan^2 x dx + \int 6 dx + \int 9\cot^2 x dx$

$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ と $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ を用いて、

$\int \tan^2 x dx = \int (\sec^2 x - 1) dx = \tan x - x + C_1$

$\int 6 dx = 6x + C_2$

$\int 9\cot^2 x dx = 9 \int (\csc^2 x - 1) dx = 9(-\cot x - x) + C_3 = -9\cot x - 9x + C_3$

これらの結果を合わせると、

$\int (\tan^2 x + 6 + 9\cot^2 x) dx = (\tan x - x) + 6x + (-9\cot x - 9x) + C = \tan x - 4x - 9\cot x + C$

3. 最終的な答え

$\tan x - 4x - 9\cot x + C$