$\int \left( \tan x + \frac{3}{\tan x} \right)^2 dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \left( \tan x + \frac{3}{\tan x} \right)^2 dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$$\left( \tan x + \frac{3}{\tan x} \right)^2 = \tan^2 x + 2 \tan x \cdot \frac{3}{\tan x} + \frac{9}{\tan^2 x} = \tan^2 x + 6 + 9 \cot^2 x$$

次に、積分を計算します。

$$\int \left( \tan^2 x + 6 + 9 \cot^2 x \right) dx = \int \tan^2 x dx + \int 6 dx + \int 9 \cot^2 x dx$$

$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ と $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ を用いて、積分を書き換えます。

$$\int (\sec^2 x - 1) dx + \int 6 dx + \int 9 (\csc^2 x - 1) dx = \int \sec^2 x dx - \int 1 dx + \int 6 dx + 9 \int \csc^2 x dx - 9 \int 1 dx$$

それぞれの積分を計算します。

$$\tan x - x + 6x - 9 \cot x - 9x + C = \tan x - 9 \cot x - 4x + C$$

3. 最終的な答え

$\tan x - 9 \cot x - 4x + C$