(1) 関数 $f(x) = \cos 2x$ をマクローリン展開し、0でない最初の3項を求める。 (2) 関数 $f(x) = \sqrt{1+2x}$ をマクローリン展開し、$x$ の2次の項まで求める。 (3) (2)で得られた式を利用して、$\sqrt{1.02}$ の近似値を小数で表す。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \cos 2x$ をマクローリン展開し、0でない最初の3項を求める。

(2) 関数 $f(x) = \sqrt{1+2x}$ をマクローリン展開し、$x$ の2次の項まで求める。

(3) (2)で得られた式を利用して、$\sqrt{1.02}$ の近似値を小数で表す。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = \cos 2x$ のマクローリン展開を求める。マクローリン展開は、関数とその導関数を $x=0$ で評価して行う。

$f(x) = \cos 2x$ なので、

$f(0) = \cos 0 = 1$

$f'(x) = -2 \sin 2x$

$f'(0) = -2 \sin 0 = 0$

$f''(x) = -4 \cos 2x$

$f''(0) = -4 \cos 0 = -4$

$f'''(x) = 8 \sin 2x$

$f'''(0) = 8 \sin 0 = 0$

$f''''(x) = 16 \cos 2x$

$f''''(0) = 16 \cos 0 = 16$

マクローリン展開は以下の式で表される。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \dots$

したがって、

$f(x) = 1 + 0x + \frac{-4}{2}x^2 + 0x^3 + \frac{16}{24}x^4 + \dots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + \dots$

0でない最初の3項は、$1$, $-2x^2$, $\frac{2}{3}x^4$

(2) 関数 $f(x) = \sqrt{1+2x} = (1+2x)^{1/2}$ のマクローリン展開を求める。

$f(0) = \sqrt{1+0} = 1$

$f'(x) = \frac{1}{2} (1+2x)^{-1/2} \cdot 2 = (1+2x)^{-1/2}$

$f'(0) = (1+0)^{-1/2} = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{2} (1+2x)^{-3/2} \cdot 2 = -(1+2x)^{-3/2}$

$f''(0) = -(1+0)^{-3/2} = -1$

マクローリン展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots$

したがって、

$f(x) = 1 + 1x + \frac{-1}{2}x^2 + \dots = 1 + x - \frac{1}{2}x^2 + \dots$

$x$ の2次の項まで求めるので、$1+x-\frac{1}{2}x^2$

(3) (2)で得られた式を利用して、$\sqrt{1.02}$ の近似値を求める。

$\sqrt{1.02} = \sqrt{1+2x}$ となるように $x$ を決定する。

$1+2x = 1.02$

$2x = 0.02$

$x = 0.01$

$\sqrt{1.02} \approx 1 + x - \frac{1}{2}x^2 = 1 + 0.01 - \frac{1}{2}(0.01)^2 = 1 + 0.01 - \frac{1}{2}(0.0001) = 1.01 - 0.00005 = 1.00995$

3. 最終的な答え

(1) $1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4$

(2) $1 + x - \frac{1}{2}x^2$

(3) 1.00995