領域 $D$ 上で関数 $f(x, y) = x$ を積分する問題です。領域 $D$ は $0 \leq x \leq \pi$ かつ $0 \leq y \leq \sin x$ で定義されます。したがって、積分は次のようになります。 $$ \iint_D x \, dxdy $$

1. 問題の内容

領域 $D$ 上で関数 $f(x, y) = x$ を積分する問題です。領域 $D$ は $0 \leq x \leq \pi$ かつ $0 \leq y \leq \sin x$ で定義されます。したがって、積分は次のようになります。

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\iint_D x \, dxdy

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2. 解き方の手順

まず、$y$ について積分し、次に $x$ について積分します。積分範囲はそれぞれ $0 \leq y \leq \sin x$ と $0 \leq x \leq \pi$ です。

まず、$y$ についての積分を行います。

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\int_0^{\sin x} x \, dy = x \int_0^{\sin x} dy = x [y]_0^{\sin x} = x \sin x

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次に、$x$ についての積分を行います。

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\int_0^\pi x \sin x \, dx

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この積分を解くには、部分積分が必要です。$u = x$ および $dv = \sin x \, dx$ とすると、$du = dx$ および $v = -\cos x$ となります。したがって、部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

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\int_0^\pi x \sin x \, dx = [-x \cos x]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x) \, dx = [-x \cos x]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x \, dx

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ここで、

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[-x \cos x]_0^\pi = -\pi \cos \pi - (-0 \cos 0) = -\pi(-1) - 0 = \pi

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および

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\int_0^\pi \cos x \, dx = [\sin x]_0^\pi = \sin \pi - \sin 0 = 0 - 0 = 0

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したがって、

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\int_0^\pi x \sin x \, dx = \pi + 0 = \pi

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3. 最終的な答え

$\pi$