$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx$ と定義する。ただし、$n$ は自然数とする。 (1) $n > 2$ のとき、$I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$ が成り立つことを示す。 (2) (1)を用いて、$I_6$ と $I_7$ の値を求める。

## 問題1

1. 問題の内容

$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx$ と定義する。ただし、$n$ は自然数とする。

(1) $n > 2$ のとき、$I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$ が成り立つことを示す。

(2) (1)を用いて、$I_6$ と $I_7$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 部分積分を用いて、$I_n$ を $I_{n-2}$ で表す。

$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}x \cdot \sin x dx$

$u = \sin^{n-1}x$, $dv = \sin x dx$ とおくと、

$du = (n-1)\sin^{n-2}x \cos x dx$, $v = -\cos x$

部分積分を行うと、

$I_n = [-\sin^{n-1}x \cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} (n-1)\sin^{n-2}x \cos^2 x dx$

第1項は $0$ となるので、

$I_n = (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}x (1-\sin^2 x) dx$

$I_n = (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}x dx - (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx$

$I_n = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$

$I_n + (n-1) I_n = (n-1) I_{n-2}$

$n I_n = (n-1) I_{n-2}$

$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$

(2) (1)の結果を用いて、$I_6$ と $I_7$ を計算する。

まず、$I_0$ と $I_1$ を求める。

$I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^0 x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$

$I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0 + 1 = 1$

$I_6 = \frac{5}{6} I_4 = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} I_2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} I_0 = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{32}$

$I_7 = \frac{6}{7} I_5 = \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} I_3 = \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} I_1 = \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{16}{35}$

3. 最終的な答え

(1) $I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$

(2) $I_6 = \frac{5\pi}{32}$, $I_7 = \frac{16}{35}$